方程式が整数解をもつ条件1(自作問題23)

この記事の所要時間: 312

問題.

問題.

\(n\) を自然数とする. \(x\) の方程式 \(x^3+n-1=n\sqrt[3]{nx-n+1}\) が3つの異なる整数解を持つような \(n\) の条件を求めよ.

自作問題の23番の問題と解説です.

左辺は3次式, 右辺は3乗根となっていて, もし両辺を3乗して整理すると,

\begin{align*}
(x^3+n-1)^3 = n^3(nx-n+1)
\end{align*}

9次の方程式となってしまい上手く解けません.

そこで, 問題の方程式の特徴を見つけて解きます.

答えはこのページの少し下にあります.

解答.

与えられた方程式は \(x^3=n\sqrt[3]{nx-n+1}-n+1\) なので,

\(y=\sqrt[3]{nx-n+1}\) とおくと

\begin{align}
y^3 &= nx-n+1 \tag{1}\\
x^3 &= ny-n+1 \tag{2}
\end{align}

となり, \(x, y\) についての対称な関係式が現れます.

(1)から(2)を引いて

\[y^3-x^3=n(x-y)\]

移項, 因数分解して

\[(y-x)(y^2+yx+x^2+n)=0\]

\(y^2+yx+x^2+n=\left(y+\frac{x}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x^2+n\neq 0\) なので \(y=x\).

(2)に \(y=x\) を代入して \(x\) について解きます.

\[x^3=nx-n+1\]

\[x^3-nx+n-1=0\]

\[(x-1)(x^2+x-n+1)=0\]

\[\therefore x=1, \frac{1}{2}(-1\pm \sqrt{4n-3})\]

\(\frac{1}{2}(-1\pm\sqrt{4n-3})\)が整数となるとき, \(\sqrt{4n-3}\)は奇数なので

\(\sqrt{4n-3}=2m-1, m:\)自然数とおくと

\(n=m^2-m+1\)

元の方程式の解は \(x=1, m-1, -m\) となり, これらが異なる解になるには \(m\neq2\).

以上より, \(n=m^2-m+1\), \(m\) は 2 でない自然数.

最後に

解答例の中の \(y\) と \(x\) の関係式(1)を

\begin{align*}
y=f(x)=\sqrt[3]{nx-n+1}
\end{align*}

とおくと, 式(2)は

\begin{align*}
x=f(y)
\end{align*}

つまり, 逆関数を用いれば,

\begin{align*}
y = f^{-1}(x)
\end{align*}

となります.

つまり, はじめの方程式の解 \(x\) を求めることは, \(y=f(x)\) と \(y=f^{-1}(x)\) の交点を求めることだったわけです.

\(y=f(x)\) と \(y=f^{-1}(x)\) のグラフは直線 \(y=x\) について対称なので, それらが \(y=x\) 上で交わりそうだ, という発想から生まれた問題です.

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