方程式が整数解をもつ条件1(自作問題23)

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問題.

nを自然数とする. xの方程式x^3+n-1=n\sqrt[3]{nx-n+1}が3つの異なる整数解を持つようなnの条件を求めよ.

自作問題の23番の問題と解説です.

左辺は3次式, 右辺は3乗根となっていて, もし両辺を3乗して整理すると,

\begin{equation*} (x^3+n-1)^3 = n^3(nx-n+1) \end{equation*}

9次の方程式となってしまい上手く解けません.

そこで, 問題の方程式の特徴を見つけて解きます.

答えはこのページの少し下にあります.

解答.

与えられた方程式はx^3=n\sqrt[3]{nx-n+1}-n+1なので,

y=\sqrt[3]{nx-n+1}とおくと

(1) \begin{eqnarray*} y^3&=&nx-n+1\\ x^3&=&ny-n+1 \end{eqnarray*}

となり, x, yについての対称な関係式が現れます.

(1)から(2)を引いて

y^3-x^3=n(x-y)

移項, 因数分解して

(y-x)(y^2+yx+x^2+n)=0

\displaystyle y^2+yx+x^2+n=\left(y+\frac{x}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x^2+n\neq 0なのでy=x.

(2)にy=xを代入してxについて解きます.

x^3=nx-n+1

x^3-nx+n-1=0

(x-1)(x^2+x-n+1)=0

\displaystyle\therefore x=1, \frac{1}{2}(-1\pm \sqrt{4n-3})

\displaystyle\frac{1}{2}(-1\pm\sqrt{4n-3})が整数となるとき, \sqrt{4n-3}は奇数なので

\sqrt{4n-3}=2m-1, m:自然数とおくと

n=m^2-m+1

元の方程式の解はx=1, m-1, -mとなり, これらが異なる解になるにはm\neq2.

以上より, n=m^2-m+1, m2でない自然数.

最後に

解答例の中のyxの関係式(1)を

\begin{equation*} y=f(x)=\sqrt[3]{nx-n+1} \end{equation*}

とおくと, 式(2)は

\begin{equation*} x=f(y) \end{equation*}

つまり, 逆関数を用いれば,

\begin{equation*} y = f^{-1}(x) \end{equation*}

となります.

つまり, はじめの方程式の解xを求めることは, y=f(x)y=f^{-1}(x)の交点を求めることだったわけです.

y=f(x)y=f^{-1}(x)のグラフは直線y=xについて対称なので, それらがy=x上で交わりそうだ, という発想から生まれた問題です.

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