相反方程式の応用問題(自作問題1-(2))

この記事の所要時間: 255

問題. 

xの方程式

2x^6-15x^5+28x^4+6x^3-28x^2-15x-2=0

の解を全て求めよ.

自作問題集の1-(2)の問題です.

相反方程式のようでありながら, xの偶数乗の係数の正負が反転している問題です. 高校の教科書などでは見かけないタイプですが, 相反方程式とほぼ同じ解き方で解くことができます.

相反方程式についてはこちらを見てください.

答えはこのページの下にあります.

解答.

x=0は明らかに解ではないので, 方程式の両辺をx^3で割って,

\displaystyle 2x^3-15x^2+28x+6-\frac{28}{x}-\frac{15}{x^2}-\frac{2}{x^3}=0.

整理して,

\displaystyle 2\left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)-15\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+28\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0.

\displaystyle s=x-\frac{1}{x}とおくと,

(1) \begin{eqnarray*} x^2+\frac{1}{x^2}&=&\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2\cdot x \cdot \frac{1}{x}\\ &=& s^2+2 \end{eqnarray*}

(2) \begin{eqnarray*} x^3-\frac{1}{x^3} &=& \left(x-\frac{1}{x}\right)^3+3\cdot x\cdot \frac{1}{x}\cdot\left(x-\frac{1}{x}\right)\\ &=& s^3+3s \end{eqnarray*}

なので,

2(s^2+3t)-15(s^2-4)+28s+6=0

整理して,

2s^3-15s^2+34s-24=0

因数分解して,

(s-2)(s-4)(2s-3)=0

よって, \displaystyle s=2, 4, \frac{3}{2}.

\displaystyle x-\frac{1}{x}=2, 4, \frac{3}{2}より,

(3) \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x^2-2x-1=0\\ x^2-4x-1=0\\ 2x^2-3x-2=0 \end{array}\right. \end{eqnarray*}

これらを解いて,

\displaystyle x=1\pm\sqrt{2}, 2\pm\sqrt{6}, 2, -\frac{1}{2}

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