相反方程式の応用問題(自作問題1-(2))

この記事の所要時間: 250

問題. 

\(x\) の方程式

\[2x^6-15x^5+28x^4+6x^3-28x^2-15x-2=0\]

の解を全て求めよ.

自作問題集の1-(2)の問題です.

相反方程式のようでありながら, \(x\) の偶数乗の係数の正負が反転している問題です. 高校の教科書などでは見かけないタイプですが, 相反方程式とほぼ同じ解き方で解くことができます.

相反方程式についてはこちらを見てください.

答えはこのページの下にあります.

解答.

\(x=0\) は明らかに解ではないので, 方程式の両辺を \(x^3\) で割って,

\[\displaystyle 2x^3-15x^2+28x+6-\frac{28}{x}-\frac{15}{x^2}-\frac{2}{x^3}=0\]

整理して,

\[\displaystyle 2\left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)-15\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+28\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0\]

\(\displaystyle s=x-\frac{1}{x}\) とおくと,

\begin{align*}
x^2+\frac{1}{x^2}&= \left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2\cdot x \cdot \frac{1}{x}\\
&= s^2+2
\end{align*}

\begin{align*}
x^3-\frac{1}{x^3} &= \left(x-\frac{1}{x}\right)^3+3\cdot x\cdot \frac{1}{x}\cdot\left(x-\frac{1}{x}\right)\\
&= s^3+3s
\end{align*}

なので,

\[2(s^2+3t)-15(s^2-4)+28s+6=0\]

整理して,

\[2s^3-15s^2+34s-24=0\]

因数分解して,

\[(s-2)(s-4)(2s-3)=0\]

よって, \(\displaystyle s=2, 4, \frac{3}{2}\).

\(\displaystyle x-\frac{1}{x}=2, 4, \frac{3}{2}\) より,

\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2-2x-1=0\\
x^2-4x-1=0\\
2x^2-3x-2=0
\end{array}\right.
\end{align*}

これらを解いて,

\[\displaystyle x=1\pm\sqrt{2}, 2\pm\sqrt{6}, 2, -\frac{1}{2}\]

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