相反方程式

この記事の所要時間: 421

相反方程式

高校で学習する範囲で出てくる方程式は, 1次, 2次方程式(解の公式で必ず答えを求められる)と, 3次以上の高次方程式で, 上手く解ける形のものがあります. (実際には3次, 4次方程式には解の公式が存在しますが, 実用的ではありません. )

3次以上の方程式には主に次の2パターンがあります.

  1. 因数定理を使って解けるもの.
  2. 相反方程式

相反方程式とは

相反方程式の例. 

x^4+3x^3+5x^2+3x+1=0

2x^4-4x^2+2=0

上の方程式では, xの係数がそれぞれ(ゼロを含めて)  (1, 3, 5, 3, 1), (2, 0, -4, 0, 2)と対称的になっています. このように, 奇数項で係数が対称的な方程式を相反方程式といいます.

相反方程式の解き方

例.

例として, 次の方程式を解いてみましょう.

(1) \begin{equation*} x^4-x^3-10x^2-x+1=0 \end{equation*}

まず, x=0は解ではない(この方程式の左辺に代入すれば, 定数項の1が残る)ので, 与えられた方程式の両辺をx^2で割って,

(2) \begin{equation*} x^2-x-10-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0 \end{equation*}

次のように整理します.

(3) \begin{equation*} \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)-10=0 \end{equation*}

\displaystyle t=x+\frac{1}{x}とおくと,

(4) \begin{eqnarray*} x^2+\frac{1}{x^2} &=& \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\\ &=&t^2-2 \end{eqnarray*}

なので, 方程式の左辺をtの式に直すと,

(5) \begin{eqnarray*} \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)-10 &=& (t^2-2) +-t-10\\ &=& t^2-t-12\\ &=& (t-4)(t+3)\\ &=& 0 \end{eqnarray*}

より, t=4, -3.

後は, このtに対応するxの値を\displaystyle t=x+\frac{1}{x}, つまりx^2-tx+1=0から求めます.

x=4のとき, x^2-4x+1=0よりx=2\pm\sqrt{3}.

x=-3のとき, x^2+3x+1=0より\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}.

従って元の相反方程式の解は\displaystyle x=2\pm\sqrt{3}, \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}となります.

一般的には.

一般的には, x2n次の相反方程式は, まず両辺をx^nで割って, 係数の対称性を利用して整理します. その式を\displaystyle t=x+\frac{1}{x}を用いて方程式を書き直してできるn次の方程式の解tからxを求めます. 上の例より次数が高ければ,

(6) \begin{eqnarray*} x^3+\frac{1}{x^3} &=& \left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right)\\ &=& t^3-3t \end{eqnarray*}

を用います. この場合は, tの3次方程式になるので, 因数定理からその解を求めることになります. (基本的に試験などで問われる場合, きれいに解けるように数値が設定されているはずです. )

応用

相反方程式の応用として, 次のような問題も考えることができます.

xの方程式

 2x^6-15x^5+28x^4+6x^3-28x^2-15x-2=0

の解を全て求めよ. 

これは相反方程式のようですが, xの偶数乗の項が正負が一致していません. (係数が2, -15, 28, 6, -28, -15, -2となっている.)

ですが, 相反方程式同様に両辺をx^3で割って, \displaystyle s=x-\frac{1}{x}とおくことで解くことができます. 試しに解いてみてください. 答えはこちらのページにあります.

スポンサーリンク
sub2
sub2
  • このエントリーをはてなブックマークに追加

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。