京大2015年度理系第6問(確率)

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問題.

2つの関数を, \displaystyle f_0(x)=\frac{x}{2}, f_1(x)=\frac{x+1}{2} とおく. \displaystyle x_0=\frac{1}{2} から始め, 各 n=1, 2, \ldots について, それぞれ確率  \displaystyle\frac{1}{2}x_n=f_0(x_{n-1}) または x_n=f_1(x_{n-1}) と定める. このとき, \displaystyle x_n<\frac{2}{3} となる確率 P_n を求めよ.

京大入試では定番のパターンです. 求めるべき P_n 以外にも適当な確率を表す変数をおいて, 漸化式を立てて解いていきます. 確率の計算と漸化式を解けるかの2つの内容が問われている問題になっています.

また, 漸化式が P_nP_{n-2} の関係式になるので, n が偶数・奇数の場合をそれぞれ求めなければいけません.

解答例.

\displaystyle x_n<\frac{1}{3} となる確率を Q_n とおきます.

まず, f_0(x), f_1(x) をどの順に使うかにかかわらず 0<x_n<1 です. (x_n=f_0(x_{n-1}) では x_n0x_{n-1} の平均に, x_n=f_1(x_{n-1}) では x_nx_{n-1}1 の平均になっている).

\displaystyle f_0(x_{n-1})<\frac{2}{3} のとき,

\displaystyle x_{n-1}<\frac{4}{3}

となり, これは常に成り立ちます. また,

\displaystyle f_1(x_{n-1})<\frac{2}{3} のとき,

\displaystyle x_{n-1}<\frac{1}{3}

となり, これが成り立つ確率は Q_{n-1} なので,

(1) \begin{eqnarray*} P_n&=&\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}Q_{n-1}\\ &=& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}Q_{n-1} \end{eqnarray*}

次に, Q_n について考えて,

\displaystyle f_0(x_{n-1})<\frac{1}{3} のとき

\displaystyle x_{n-1}<\frac{2}{3}

となり, これが成り立つ確率は P_{n-1}.

\displaystyle f_1(x_{n-1})<\frac{1}{3} のとき

\displaystyle x_{n-1} < -\frac{1}{3}

となり, これが成り立つ確率は 0 なので,

(2) \begin{eqnarray*} Q_n &=& \frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{2}\cdot 0\\ &=& \frac{1}{2}P_{n-1} \end{eqnarray*}

式(1), (2)から, Q_n を消去して,

(3) \begin{equation*} P_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}P_{n-2} \end{equation*}

変形して,

(4) \begin{equation*} P_n-\frac{2}{3}=\frac{1}{4}\left(P_{n-2}-\frac{2}{3}\right) \end{equation*}

\displaystyle x_0=\frac{1}{2}<\frac{2}{3} より, P_0=1 なので, n=0, 1, 2\ldots について

\displaystyle P_{2n}-\frac{2}{3}=\left(\frac{1}{4}\right)^n\left(1-\frac{2}{3}\right)

整理すると,

\displaystyle P_{2n}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^n

また, \displaystyle \frac{1}{2} の確率で

\displaystyle x_1=f_0\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}<\frac{2}{3} または

\displaystyle x_1=f_1\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}>\frac{2}{3}

なので, \displaystyle P_1=\frac{1}{2} で, n=0, 1, 2, \ldots について

\displaystyle P_{2n+1}-\frac{2}{3}=\left(\frac{1}{4}\right)^n\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)

整理して,

\displaystyle P_{2n+1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\left(\frac{1}{4}\right)^n

以上をまとめると,

(5) \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{l} P_{2n}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^n\\ P_{2n+1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\left(\frac{1}{4}\right)^n \end{array} \right. \end{eqnarray*}

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