京大2014年度理系第2問(確率)

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問題.

2つの粒子が時刻0において\triangle{ABC}の頂点Aに位置している. これらの粒子は独立に運動し, それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする. たとえば, ある時刻で点Cにいる粒子は, その1秒後には点Aまたは点Bにそれぞれ\displaystyle \frac{1}{2}の確率で移動する. この2つの粒子が, 時刻0n秒後に同じ点にいる確率p(n)を求めよ.

これも京大の確率の問題では定番のパターンです. p(n)を直接求めるのではなく, 適当な確率を表す変数をp(n)以外に自分でおいて漸化式から解いていく問題になっています.

解答.

時刻nからn秒後に1つの粒子がA, B, Cにいる確率をそれぞれa(n), b(n), c(n)とおけば, 2つの粒子の移動が互いに独立なので, 求める確率p(n)は次のように書けます.

(1) \begin{equation*} p(n)=a(n)^2+b(n)^2+c(n)^2 \end{equation*}

そこで, a(n), b(n), c(n)に関して漸化式を立ててそれぞれ求めていきます.

まず, 粒子はいずれかの頂点に必ずいるので,

a(n)+b(n)+c(n)=1.

また, 初期条件として, 時刻0に粒子は点Aにいるので

a(0)=1, b(0)=c(0)=0

時刻n+1に点Aにいるのは, 時刻nに点BまたはCにいるとき確率\displaystyle \frac{1}{2}Aに移動するから,

(2) \begin{eqnarray*} a(n+1) &=& \frac{1}{2}b(n)+\frac{1}{2}c(n)\\ &=& \frac{1}{2}(1-a(n)) \end{eqnarray*}

同様にして, b(n), c(n)についても以下の漸化式が成り立ちます.

(3) \begin{equation*} b(n+1)=\frac{1}{2}(1-b(n)) \end{equation*}

(4) \begin{equation*} c(n+1)=\frac{1}{2}(1-c(n)) \end{equation*}

ここで, 上の漸化式から,

(5) \begin{equation*} a(n+1)-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(a(n)-\frac{1}{3}\right) \end{equation*}

よって, \displaystyle \{a(n)-\frac{1}{3}\}は初項\displaystyle \frac{2}{3}, 公比\displaystyle -\frac{1}{2}の等比数列で,

(6) \begin{equation*} a(n)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{equation*}

また,

(7) \begin{equation*} b(n+1)-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(b(n)-\frac{1}{3}\right) \end{equation*}

よって, \displaystyle \{b(n)-\frac{1}{3}\}は初項\displaystyle -\frac{1}{3}, 公比\displaystyle -\frac{1}{2}の等比数列で,

(8) \begin{equation*} b(n)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{equation*}

c(n)は初項と漸化式がb(n)と一致しているので, (これは三角形の対称性からも分かることですが)

(9) \begin{equation*} c(n)=b(n)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{equation*}

以上の結果を式(1)に代入して,

(10) \begin{eqnarray*} p(n) &=& a(n)^2+b(n)^2+c(n)^2\\ &=& \left\{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}^2+2\left\{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}^2\\ &=& \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}+\frac{1}{3} \end{eqnarray*}

最後のp(n)の計算間違いは気を付けなければならないですが, 解き方自体はさほど難しくないです.

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