京大2014年度理系第6問(定積分・面積)

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問題.

双曲線\displaystyle y=\frac{1}{x}の第1象限にある部分と, 原点Oを中心とする円の第1象限にある部分を, それぞれC_1, C_2とする. C_1C_2は2つの異なる点A, Bで交わり, 点AにおけるC_1の接線lと線分OAのなす角は\displaystyle \frac{\pi}{6}であるとする. このとき, C_1C_2で囲まれる図形の面積を求めよ.

与えられた条件から, 点A, Bの座標を求めて定積分する問題ですが, 途中で\displaystyle \frac{\pi}{12}の三角関数が出てくるところで戸惑うかもしれません. (上手く解けば避けられます. )

解答.

\displaystyle y=\frac{1}{x}上の点Aの座標を\displaystyle \left(p, \frac{1}{p}\right)(p>0)とおくと,kyoto20146

曲線C_1, C_2が直線y=xに関して対称であることから, 点ABy=xに関して対称で, \displaystyle B\left(\frac{1}{p}, p\right).

直線OA及びAにおけるC_1の接線がx軸の正の方向となす角をそれぞれ\theta, \phiとおけば,

\displaystyle \tan{\theta}=\frac{\frac{1}{p}}{p}=\frac{1}{p^2}.

また, \displaystyle y=\frac{1}{x}に対して\displaystyle y^\prime=-\frac{1}{x^2}なので

\displaystyle \tan{\phi}=-\frac{1}{p^2}.

与えられた条件から, \displaystyle \phi-\theta=\frac{\pi}{6}で, \displaytsyle \tan{(\phi-\theta)}=\tan{\frac{\pi}{6}}なので,

\displaystyle \frac{-\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^2}}{1+\frac{1}{p^2}\left(-\frac{1}{p^2}\right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}

\displaystyle \frac{-2p^2}{p^4-1}=\frac{1}{\sqrt{3}}

\therefore p^4+2\sqrt{3}p^2-1=0.

p^2>0より, p^2=2-\sqrt{3}. (2次方程式の解の公式により)

このことから,

(1) \begin{eqnarray*} \tan{\theta}&=&\frac{1}{p^2}\\ &=& \frac{1}{2-\sqrt{3}}\\ &=& 2+\sqrt{3} \end{eqnarray*}

(2) \begin{eqnarray*} \tan{2\theta} &=& \frac{2(2+\sqrt{3})}{1-(2+\sqrt{3})^2}\\ &=& -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}

\displaystyle \frac{\pi}{2}>\theta>\frac{\pi}{4}から\displaystyle 2\theta=\frac{5}{6}\pi.

また, 円C_2の半径は

(3) \begin{eqnarray*} OA &=& \sqrt{p^2+\frac{1}{p^2}}\\ &=& \sqrt{(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})}\\ &=& 2 \end{eqnarray*}

以上を踏まえて, 求める面積をSとおくと,

(4) \begin{equation*} S = \int_p^{\frac{1}{p}} \sqrt{4-x^2} dx - \int_p^{\frac{1}{p}} \frac{1}{x} dx \end{equation*}

右辺の第1項について, x=2\cos{t}と置換して,

(5) \begin{eqnarray*} \int_p^{\frac{1}{p}} \sqrt{4-x^2} dx &=& \int_{\theta}^{\frac{\pi}{2}-\theta} 2\sin{t}(-2\sin{t}) dt\\ &=& -2\int_{\theta}^{\frac{\pi}{2}-\theta} (1-\cos{2t})dt\\ &=& -2\Big[t-\frac{1}{2}\sin{2t}\Big]_\theta^{\frac{\pi}{2}-\theta} \\ &=& \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}

右辺の第2項は

(6) \begin{eqnarray*} \int_p^{\frac{1}{p}} \frac{1}{x} dx &=& \Big[\log|x|\Big]_p^{\frac{1}{p}}\\ &=& \log{\frac{1}{p}}-\log{p}\\ &=& \log{\frac{1}{p^2}}\\ &=& \log{(2+\sqrt{3})} \end{eqnarray*}

従って,

(7) \begin{equation*} S=\frac{2}{3}\pi-\log{(2+\sqrt{3})} \end{equation*}

追記.

pの値は二重根号を外して\displaystyle p=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}と求まりますが, ここではあえて求めずに済むように解いています.

また, これは後に京大の教授から聞いた話ですが, 値を暗記していて\tan{\theta}=2+\sqrt{3}からいきなり\displaystyle \theta=\frac{5}{12}\piと書くと減点対象だそうです. (つまり, 高校の範囲でその値を教えていないので導け, とのこと). そのため, ここでは2倍角の定理を使って2\thetaを求めています.

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