京大2014理系第1問, 文系第3問(ベクトル, 最小値)

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問題.

座標空間における次の3つの直線l, m, nを考える:

lは点A(1, 0, -2)を通り, ベクトル\vec{u}=(2, 1, -1)に平行な直線である.

mは点B(1, 2, -3)を通り, ベクトル\vec{v}=(1, -1, 1)に平行な直線である.

nは点C(1, -1, 0)を通り, ベクトル\vec{w}=(1, 2, 1)に平行な直線である.

Pl上の点として, Pからm, nへ下ろした垂線の足をそれぞれQ, Rとする. このとき, PQ^2+PR^2を最小にするようなPと, そのときのPQ^2+PR^2を求めよ.

空間のベクトルに関する問題. 問われている内容・計算ともに比較的簡単な問題です. 垂線の足という言い回しは教科書から消えかかっているという噂も耳にしますが, 覚えておきましょう.

解答.

3P, Q, Rがそれぞれ直線l, m, n上にあることから, 実数p, q, rを用いて,

(1) \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+p\vec{u}=(2p+1, p, -p-2)\\ \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OB}+q\vec{v}=(q+1, -q+2, q-3)\\ \overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OC}+r\vec{w}=(r+1, 2r-1, r) \end{array} \right. \end{eqnarray*}

と書け, また,

(2) \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=(-2p+q, -p-q+2, p+q-1)\\ \overrightarrow{PR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP}=(-2p+r, -p+2r-1, p+r+2) \end{array} \right. \end{eqnarray*}

となります.

いま, \overrightarrow{PQ}\perp m, つまり\overrightarrow{PQ}\perp\vec{v}より\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{v}=0なので,

(-2p+q, -p-q+2, p+q-1)\cdot (1, -1, 1)=0

これを解いて, q=1.

また, \overrightarrow{PR}\perp n, つまり\overrightarrow{PR}\perp\vec{w}より\overrightarrow{PR}\cdot\vec{w}=0なので,

(-2p+r, -p+2r-1, p+r+2)\cdot (1, 2, 1)=0

これを解いて, \displaystyle r=\frac{1}{2}p.

これらを式(2)に代入して,

(3) \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{PQ}=(-2p+1, -p+1, p)\\ \overrightarrow{PR}=(-\frac{3}{2}p, -1, \frac{3}{2}p-1) \end{array} \right. \end{eqnarray*}

よって,

(4) \begin{eqnarray*} PQ^2+PR^2 &=& |\overrightarrow{PQ}|^2+|\overrightarrow{PR}|^2\\ &=& \{(-2p+1)^2+(-p+1)^2+p^2\}\\\quad & &+ \left\{\left(-\frac{3}{2}p\right)^2+(-1)^2+\left(\frac{3}{2}p+2\right)^2\right\}\\ &=& \frac{21}{2}p^2+7 \end{eqnarray*}

Pが直線l上を動くとき, pは任意の実数値を取り得るので, PQ^2+PR^2p=0のとき最小値7をとる. このとき, PAに一致していて, P(1, 0, -2).

したがって, P(1, 0, -2)で最小値7.

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