京大2014理系第1問, 文系第3問(ベクトル, 最小値)

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問題.

座標空間における次の3つの直線 \(l, m, n\) を考える:

\(l\) は点 \(A(1, 0, -2)\) を通り, ベクトル \(\vec{u}=(2, 1, -1)\) に平行な直線である.

\(m\) は点 \(B(1, 2, -3)\) を通り, ベクトル \(\vec{v}=(1, -1, 1)\)に平行な直線である.

\(n\) は点 \(C(1, -1, 0)\) を通り, ベクトル \(\vec{w}=(1, 2, 1)\) に平行な直線である.

\(P\) を \(l\) 上の点として, \(P\) から \(m, n\) へ下ろした垂線の足をそれぞれ \(Q, R\) とする. このとき, \(PQ^2+PR^2\) を最小にするような \(P\) と, そのときの \(PQ^2+PR^2\) を求めよ.

空間のベクトルに関する問題. 問われている内容・計算ともに比較的簡単な問題です. 垂線の足という言い回しは教科書から消えかかっているという噂も耳にしますが, 覚えておきましょう.

解答.

3点 \(P, Q, R\) がそれぞれ直線 \(l, m, n\) 上にあることから, 実数 \(p, q, r\) を用いて,

\begin{align}
\left\{
\begin{array}{ll}
\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+p\vec{u}=(2p+1, p, -p-2)\\
\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OB}+q\vec{v}=(q+1, -q+2, q-3)\\
\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OC}+r\vec{w}=(r+1, 2r-1, r)
\end{array}
\right. \tag{1}
\end{align}

と書け, また,

\begin{align}
\left\{
\begin{array}{l}
\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=(-2p+q, -p-q+2, p+q-1)\\
\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP}=(-2p+r, -p+2r-1, p+r+2)
\end{array}
\right. \tag{2}
\end{align}

となります.

いま, \(\overrightarrow{PQ}\perp m\), つまり \(\overrightarrow{PQ}\perp\vec{v}\) より \(\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{v}=0\) なので,

\[(-2p+q, -p-q+2, p+q-1)\cdot (1, -1, 1)=0\]

これを解いて, \(q=1\).

また, \(\overrightarrow{PR}\perp n\), つまり \(\overrightarrow{PR}\perp\vec{w}\) より \(\overrightarrow{PR}\cdot\vec{w}=0\) なので,

\[(-2p+r, -p+2r-1, p+r+2)\cdot (1, 2, 1)=0\]

これを解いて, \(\displaystyle r=\frac{1}{2}p\).

これらを式(2)に代入して,

\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
\overrightarrow{PQ}=(-2p+1, -p+1, p)\\
\overrightarrow{PR}=(-\frac{3}{2}p, -1, \frac{3}{2}p-1)
\end{array}
\right.
\end{align*}

よって,

\begin{align*}
PQ^2+PR^2 &= |\overrightarrow{PQ}|^2+|\overrightarrow{PR}|^2\\
&= \{(-2p+1)^2+(-p+1)^2+p^2\}\\
\quad & + \left\{\left(-\frac{3}{2}p\right)^2+(-1)^2+\left(\frac{3}{2}p+2\right)^2\right\}\\
&= \frac{21}{2}p^2+7
\end{align*}

点$P$が直線 \(l\) 上を動くとき, \(p\) は任意の実数値を取り得るので, \(PQ^2+PR^2\) は \(p=0\) のとき最小値 7 をとる. このとき, \(P\) は \(A\) に一致していて, \(P(1, 0, -2)\).

したがって, \(P(1, 0, -2)\) で最小値 7.

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