京大2014年度理系第3問(微分・最大値)

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問題.

\triangle{ABC}は, 条件\angle{B}=2\angle{A}, BC=1を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする. このとき, \cos{\angle{B}}を求めよ.

微分して最大値を求める問題です. \angle{B}の大きさはきれいな値として求まらないところと, 三角関数の変形(和と積の書き換え, 2倍角の公式など)を上手くできるかがポイントになってきます.

解答.

\angle{A}=\thetaとおくと, \angle{B}=2\angle{A}=2\theta.

正弦定理より,

\displaystyle \frac{AC}{\sin{\angle{B}}}=\frac{BC}{\sin{\angle{A}}}なので,

(1) \begin{eqnarray*} AC &=& BC\cdot \frac{\sin{\angle{B}}}{\sin{\angle{A}}}\\ &=& 1\cdot \frac{\sin{2\theta}}{\sin{\theta}}\\ &=& \frac{2\sin{\theta}\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\\ &=& 2\cos{\theta} \end{eqnarray*}

\triangle{ABC}の面積をSとすると,

(2) \begin{eqnarray*} S &=& \frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\sin{\angle{C}}\\ &=& \frac{1}{2}\cdot 2\cos{\theta}\cdot 1\cdot \sin(\pi-3\theta)\\ &=& \cos{\theta}\sin{3\theta}\\ &=& \frac{1}{2}(\sin{4\theta}+\sin{2\theta}) \end{eqnarray*}

S\thetaで微分すると

(3) \begin{eqnarray*} \frac{dS}{d\theta} &=& 2\cos{4\theta}+\cos{2\theta}\\ &=& 2(2\cos^2{2\theta}-1)+\cos{2\theta}\\ &=& 4\cos^2{2\theta}+\cos{2\theta}-2 \end{eqnarray*}

三角形の内角の和が\piより, 0<3\theta<\piなので, \displaystyle 0<2\theta<\frac{2}{3}\piで, \displaystyle -\frac{1}{2}<\cos{2\theta}<1.

\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=0となるのは\displaystyle \cos{2\theta}=\frac{-1+\sqrt{33}}{8}のときで, このときの\thetaの値を\alphaとおくと, Sの増減表は下のようになり, \theta=\alphaSは最大となります.

\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline \theta & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \frac{2}{3}\pi\\ \hline \frac{dS}{d\theta} & & + & 0 & - & \\ \hline S & & \nearrow & & \searrow & \\\hline \end{array}

したがって, 面積最大のとき

\displaystyle \cos{\angle{B}}=\cos{2\alpha}=\frac{-1+\sqrt{33}}{8}

追記.

Sの計算式(2)では三角関数の積を和に直す公式

\begin{equation*} \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\beta-\alpha)\} \end{equation*}

を,

\dfrac{dS}{d\theta}の計算式(3)では2倍角の公式

\begin{equation*} \cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha}-1 \end{equation*}

を使っています.

これらはよく使うので, 「三角関数の角度に関する公式」を参考にして覚えましょう.

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