京大2014年度理系第3問(微分・最大値)

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問題.

\(\triangle{ABC}\) は, 条件 \(\angle{B}=2\angle{A}\), \(BC=1\) を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする. このとき, \(\cos{\angle{B}}\) を求めよ.

微分して最大値を求める問題です. \(\angle{B}\) の大きさはきれいな値として求まらないところと, 三角関数の変形(和と積の書き換え, 2倍角の公式など)を上手くできるかがポイントになってきます.

解答.

\(\angle{A}=\theta\) とおくと, \(\angle{B}=2\angle{A}=2\theta\).

正弦定理より,

\(\displaystyle \frac{AC}{\sin{\angle{B}}}=\frac{BC}{\sin{\angle{A}}}\) なので,

\begin{align*}
AC &= BC\cdot \frac{\sin{\angle{B}}}{\sin{\angle{A}}}\\
&= 1\cdot \frac{\sin{2\theta}}{\sin{\theta}}\\
&= \frac{2\sin{\theta}\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\\
&= 2\cos{\theta}
\end{align*}

\(\triangle{ABC}\) の面積を \(S\) とすると,

\begin{align}
S &= \frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\sin{\angle{C}}\\
&= \frac{1}{2}\cdot 2\cos{\theta}\cdot 1\cdot \sin(\pi-3\theta)\\
&= \cos{\theta}\sin{3\theta}\\
&= \frac{1}{2}(\sin{4\theta}+\sin{2\theta}) \tag{1}
\end{align}

\(S\) を \(\theta\) で微分すると

\begin{align*}
\frac{dS}{d\theta} &= 2\cos{4\theta}+\cos{2\theta}\\
&= 2(2\cos^2{2\theta}-1)+\cos{2\theta}\\
&= 4\cos^2{2\theta}+\cos{2\theta}-2 \tag{2}
\end{align*}

三角形の内角の和が \(\pi\) より, \(0<3\theta<\pi\) なので, \(\displaystyle 0<2\theta<\frac{2}{3}\pi\) で, \(\displaystyle -\frac{1}{2}<\cos{2\theta}<1\).

\(\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=0\) となるのは \(\displaystyle \cos{2\theta}=\frac{-1+\sqrt{33}}{8}\) のときで, このときの \(\theta\) の値を \(\alpha\) とおくと, \(S\) の増減表は下のようになり, \(\theta=\alpha\) で \(S\) は最大となります.

したがって, 面積最大のとき

\[\cos{\angle{B}}=\cos{2\alpha}=\frac{-1+\sqrt{33}}{8}\]

追記.

\(S\) の計算式(1)では三角関数の積を和に直す公式

\begin{align*}
\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\beta-\alpha)\}
\end{align*}

を,

\(\dfrac{dS}{d\theta}\) の計算式(2)では2倍角の公式

\begin{align*}
\cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha}-1
\end{align*}

を使っています.

これらはよく使うので, 「三角関数の角度に関する公式」を参考にして覚えましょう.

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