三角関数の加法定理

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三角関数の加法定理

\sin(x+y)=\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}

\sin(x-y)=\sin{x}\cos{y}-\cos{x}\sin{y}

\cos(x+y)=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}

\cos(x-y)=\cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y}

\displaystyle \tan(x+y)=\frac{\tan{x}+\tan{y}}{1-\tan{x}\tan{y}}

\displaystyle \tan(x-y)=\frac{\tan{x}-\tan{y}}{1+\tan{x}\tan{y}}

この定理は, 三角関数の他の定理(2倍角の定理, 半角の定理, 三角関数の合成など)を導ける, 重要な定理です. 必ず覚えておきましょう. \tan{}の加法定理は, 「1引くタンタン分のタン足すタン」のようなリズムで覚えると忘れにくいです.

例.

(1) \begin{eqnarray*} \sin{75^\circ} &=& \sin{45^\circ}\cos{30^\circ}+\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}\\ &=& \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}\\ &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray*}

以下では, この定理の証明をします. 教科書では図形から証明することが多いですが, ここではベクトルの内積を使った方法で示します.

証明.

この証明ではx, y座標を用いるので, 上の定理の式のx, y\theta, \phiとした形で示します.

まず, 単位円上に2点A(\cos{\theta}, \sin{\theta}), B(\cos{\phi}, \sin{\phi})をとります. このとき,

(2) \begin{equation*} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = \cos{\theta}\cos{\phi}+\sin{\theta}\sin{\phi} \end{equation*}

ですが, 一方で, 2つのベクトル\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}のなす角が\theta-\phiなので, 内積の定義から,

(3) \begin{eqnarray*} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} &=& |\overrightarrow{OA}|\cdot|\overrightarrow{OB}|\cdot\cos(\theta-\phi)\\ &=& \cos(\theta-\phi) \end{eqnarray*}

よって,

(4) \begin{equation*} \cos(\theta-\phi) = \cos{\theta}\cos{\phi}+\sin{\theta}\sin{\phi} \end{equation*}

後は, \cos(-\phi)=\cos{\phi}, \sin(-\phi)=-\sin{\phi}を使って,

(5) \begin{eqnarray*} \cos(\theta+\phi) &=& \cos\{\theta-(-\phi)\}\\ &=& \cos{\theta}\cos(-\phi)+\sin{\theta}\sin(-\phi)\\ &=& \cos{\theta}\cos{\phi}-\sin{\theta}\sin{\phi} \end{eqnarray*}

また, \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin{x}\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos{x}の変形を用いて,

(6) \begin{eqnarray*} \sin(\theta+\phi) &=& \cos\left(\frac{\pi}{2}-(\theta+\phi)\right)\\ &=& \cos\left((\frac{\pi}{2}-\theta)-\phi\right)\\ &=& \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\cos{\phi}+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\sin(\phi)\\ &=& \sin{\theta}\cos{\phi}+\cos{\theta}\sin{\phi} \end{eqnarray*}

\cos{}のとき同様にして,

(7) \begin{eqnarray*} \sin(\theta-\phi) &=& \sin{\theta}\cos(-\phi)+\cos{\theta}\sin(-\phi)\\ &=& \sin{\theta}\cos{\phi}-\cos{\theta}\sin{\phi} \end{eqnarray*}

ただし, この証明が成り立つためには, \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin{x}\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos{x}を式(5)の前に示しておく必要があるが, 前者は式(3)から求まり, 後者はそれを使えば

(8) \begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) &=& \cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)\\ &=& \cos{x} \end{eqnarray*}

となります.

また, \tan{}の加法定理については,

(9) \begin{eqnarray*} \tan(x\pm y) &=& \frac{\sin(x\pm y)}{\cos(x\pm y)}\\ &=& \frac{\sin{x}\cos{y}\pm\cos{x}\sin{y}}{\cos{x}\cos{y}\mp\sin{x}\sin{y}}\\ &=& \frac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\pm\frac{\sin{y}}{\cos{y}}}{1\mp\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot\frac{\sin{y}}{\cos{y}}}\\ &=& \frac{\tan{x}\pm\tan{y}}{1\mp\tan{x}\tan{y}} \end{eqnarray*}

となります.

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