2倍角, 3倍角, 半角の公式と三角関数の合成の証明

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2倍角, 3倍角, 半角の公式

2倍角の公式

\[\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}\]

\[\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=2\cos^2{x}-1=1-2\sin^2{x}\]

\(\cos{2x}\) については, 右辺が3通りの書き方がありますが, どれも重要なので覚えておこう.

例. \(\displaystyle \sin{x}=\frac{1}{3}\) のとき,

\begin{align*}
\cos{2x} &= 1-2\sin^2{x}\\
&= 1-2\left(\frac{1}{3}\right)^2\\
&= \frac{7}{9}
\end{align*}

(証明). 加法定理

\begin{align*}
\sin(x+y)&=\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}\\
\cos(x+y)&=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}
\end{align*}

において \(y=x\) とすることで求まる. \(\cos{2x}\) については, \(\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\)を利用した変形から, 右辺が3通りの書き方ができる.

3倍角の公式

\[\sin{3x}=3\sin{x}-4\sin^3{x}\]

\[\cos{3x}=4\cos^3{x}-3\cos{x}\]

3倍角の公式は頻出ではないので, 常に覚えておく必要はないが, 以下のように加法定理から簡単に導けるので, 導き方を頭に入れておこう.

(証明)

\begin{align*}
\sin{3x} &= \sin{x}\cos{2x}+\cos{x}\sin{2x}\\
&= \sin{x}(1-2\sin^2{x})+\cos{x}\cdot 2\sin{x}\cos{x}\\
&= \sin{x}-2\sin^3{x}+2\sin{x}\cos^2{x}\\
&= \sin{x}-2\sin^3{x}+2\sin{x}(1-\sin^2{x})\\
&= 3\sin{x}-4\sin^3{x}
\end{align*}

\begin{align*}
\cos{3x} &= \cos{x}\cos{2x}-\sin{x}\sin{2x}\\
&= \cos{x}(2\cos^2{x}-1)-\sin{x}\cdot2\sin{x}\cos{x}\\
&= 2\cos^3{x}-\cos{x}-2\cos{x}\sin^2{x}\\
&= 2\cos^3{x}-\cos{x}-2\cos{x}(1-\cos^2{x})\\
&= 4\cos^3{x}-3\cos{x}
\end{align*}

半角の公式

\begin{align*}
\sin^2{\frac{x}{2}} &= \frac{1-\cos{x}}{2}\\
\cos^2{\frac{x}{2}} &= \frac{1+\cos{x}}{2}\\
\end{align*}

この公式も2倍角の公式から簡単に導けるが, よく使うので覚えておこう.

例.
\begin{align*}
\sin^2{15^\circ} &= \frac{1-\cos{30^\circ}}{2}\\
&= \frac{1}{2}\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
&= \frac{2-\sqrt{3}}{4}\\
&= \frac{4-2\sqrt{3}}{8}\\
&= \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{8}
\end{align*}

より,

\(\sin{15^\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

(証明)

2倍角の公式から,

\[\displaystyle \cos{x} = 1-2\sin^2{\frac{x}{2}}\]

\[\displaystyle \cos{x} = 2\cos^2{\frac{x}{2}}-1\]

が成り立つので, それぞれの式を \(\displaystyle \sin^2{\frac{x}{2}}, \cos^2{\frac{x}{2}}\) について解けば, 上の公式が導かれる.

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