京大2013年度理系第1問文系第2問(ベクトル)

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問題

平行四辺形 ABCD において, 辺 AB1:1 に内分する点を E, 辺 BC2:1 に内分する点を F、辺 CD3:1 に内分する点を G とする. 線分 CE と線分 FG の交点を P とし, 線分 AP を延長した直線と辺 BC の交点をQとするとき, 比 AP:PQ を求めよ.

問題文にベクトルは出てこないですが, ベクトルを使って解く問題. 2直線の交点を求めるという定番の問題です.

実は, 線分を延長して三角形の相似を繰り返し使うことで, 初等幾何で答えを求めることもできますが…….

解答.

kyoto20131

\overrightarrow{AB}=\vec{b}, \overrightarrow{AD}=\vec{d} とおくと,

(1) \begin{equation*} \overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\vec{b} \end{equation*}

(2) \begin{equation*} \overrightarrow{AC} = \vec{b}+\vec{d} \end{equation*}

(3) \begin{eqnarray*} \overrightarrow{AG}&=&\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}\\ &=&\frac{1}{4}\vec{b}+\vec{d} \end{eqnarray*}

(4) \begin{eqnarray*} \overrightarrow{AF} &=& \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}\\ &=& \vec{b}+\frac{2}{3}\vec{d} \end{eqnarray*}

P が線分 CEr:(1-r) に内分するとすると,

(5) \begin{eqnarray*} \overrightarrow{AP} &=& r\overrightarrow{AE}+(1-r)\overrightarrow{AC}\\ &=& \frac{r}{2}\vec{b}+(1-r)(\vec{b}+\vec{d})\\ &=& \left(1-\frac{r}{2}\right)\vec{b}+(1-r)\vec{d} \end{eqnarray*}

また, 点 P が線分 FGs:(1-s) に内分するとすると,

(6) \begin{eqnarray*} \overrightarrow{AP} &=& s\overrightarrow{AG}+(1-s)\overrightarrow{AF}\\ &=& s\left(\frac{1}{4}\vec{b}+\vec{d}\right)+(1-s)\left(\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{d}\right)\\ &=& \left(1-\frac{3}{4}s\right)\vec{b}+\left(\frac{2}{3}+\frac{s}{3}\right)\vec{d} \end{eqnarray*}

\vec{b}\vec{d} は1次独立なので, (5), (6)より,

(7) \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} 1-\frac{r}{2}=1-\frac{3}{4}s\\ 1-r = \frac{2}{3}+\frac{s}{3} \end{array}\right. \end{eqnarray*}

これを解いて, \displaystyle r = \frac{3}{11}, s = \frac{2}{11}.

よって, (5)より\displaystyle \overrightarrow{AP} = \frac{19}{22}\vec{b}+\frac{8}{11}\vec{d}.

3点A, P, Qは一直線上にあるので\overrightarrow{AQ}=k\overrightarrow{AP}とおいて, \overrightarrow{AQ}\vec{b}\overrightarrow{AC}で表すと,

(8) \begin{eqnarray*} \overrightarrow{AQ} &=& k\left(\frac{19}{22}\vec{b}+\frac{8}{11}\vec{d}\right)\\ &=& \frac{19}{22}k\vec{b}+\frac{8}{11}k(\overrightarrow{AC}-\vec{b})\\ &=& \frac{3}{22}k\vec{b}+\frac{8}{11}k\overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}

Q は線分 BC 上にあるので, \displaystyle \frac{3}{22}k+\frac{8}{11}k=1.

\displaystyle \therefore k = \frac{22}{19}.

よって, \displaystyle AP:PQ=1:(\frac{22}{19}-1)=19:3.

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