三角関数における重要な公式

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三角関数で重要な公式

以下にまとめた三角関数に関する公式は, どれも重要で頻出であるので, 自由に使えるように覚えておこう. 加法定理を覚えていれば, 他の公式はそこから簡単に導けるので, 万が一忘れてしまったときに公式をその場で導けるようにしておくことも大切です.

基本公式

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1

\displaystyle \tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}

\displaystyle 1+\tan^2{x}=\frac{1}{\cos^2{x}}

加法定理

\sin(x+y)=\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}

\sin(x-y)=\sin{x}\cos{y}-\cos{x}\sin{y}

\cos(x+y)=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}

\cos(x-y)=\cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y}

\displaystyle \tan(x+y)=\frac{\tan{x}+\tan{y}}{1-\tan{x}\tan{y}}

\displaystyle \tan(x-y)=\frac{\tan{x}-\tan{y}}{1+\tan{x}\tan{y}}

(証明はこちら)

2倍角の公式, 3倍角の公式

\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}

\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=2\cos^2{x}-1=1-2\sin^2{x}

\sin{3x}=3\sin{x}-4\sin^3{x}

\cos{3x}=4\cos^3{x}-3\cos{x}

(証明はこちら)

半角の公式

\displaystyle \sin^2{\frac{x}{2}} = \frac{1-\cos{x}}{2}

\displaystyle \cos^2{\frac{x}{2}} = \frac{1+\cos{x}}{2}

(証明はこちら)

三角関数の合成

a\sin{x}+b\cos{x}=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)

但し, \alpha\displaystyle \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos\slpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}を満たす角.

三角関数の和と積の交換

\displaystyle \sin{A}+\sin{B} = 2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}

\displaystyle \sin{A}-\sin{B} = 2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}

\displaystyle \cos{A}+\cos{B} = 2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}

\displaystyle \cos{A}-\cos{B} = -2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}

\displaystyle \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))

\displaystyle \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta))

\displaystyle \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))

\displaystyle \sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)-\cocs(\alpha-\beta))

上の和を積に直す公式で\displaystyle \alpha=\frac{A+B}{2}, \beta=\frac{A-B}{2}とおくことで下の積を和に直す公式になります.

その他の公式

\sin(-\theta)=-\sin\theta,  \cos(-\theta)=\cos\theta

\tan(-\theta)=-\tan\theta

\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta,  \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta

\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{1}{\tan\theta}

\sin(\pi-\theta)=\sin\theta,  \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta

\tan(\pi-\theta)=-\tan\theta                   など.

この形の公式は, 教科書にはたくさん出てきます. もちろんすべて暗記しても良いのですが, \sin, \cosのグラフの形を覚えていれば, 簡単に求めることができるので, 無理に覚える必要はありません. 詳しくはこちら.

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