三角関数の合成

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三角関数の合成

三角関数の合成

\(a\sin{x}+b\cos{x}=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)

但し, \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

元の式の \(\sin\) と \(\cos\) の角が同じでないと使えない事に注意しましょう.

また, \(\alpha\) の求め方が忘れやすいところですが, 右のように座標 \((a, b)\) の点を取って, 原点と結んだ線分の \(x\) 軸の正の方向となす角が \(\alpha\) だ, と図で頭に入れておけば忘れにくくなります.

三角関数の角度に関するたくさんの公式」もそうですが, 複雑な公式は図を利用した方が覚えやすいですね.

簡単に証明も載せておきます. tri_gousei

(証明)

\(\displaystyle \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1\) なので,

\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) となる角 \(\alpha\) が存在する.

加法定理を用いれば,

\begin{align*}
a\sin{x}+b\cos{x} &= \sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{x}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{x}\right)\\
&= \sqrt{a^2+b^2}(\cos\alpha\sin{x}+\sin\alpha\cos{x})\\
&= \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)
\end{align*}

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