三角関数の合成

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三角関数の合成

三角関数の合成

a\sin{x}+b\cos{x}=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)

但し, \displaystyle \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.

元の式の\sin\cosの角が同じでないと使えない事に注意しましょう.

また, \alphaの求め方が忘れやすいところですが, 右のように座標(a, b)の点を取って, 原点と結んだ線分のx軸の正の方向となす角が\alphaだ, と図で頭に入れておけば忘れにくくなります.

三角関数の角度に関するたくさんの公式」もそうですが, 複雑な公式は図を利用した方が覚えやすいですね.

簡単に証明も載せておきます. tri_gousei

(証明)

\displaystyle \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1なので,

\displaystyle \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}となる角\alphaが存在する.

加法定理を用いれば,

\begin{eqnarray*} a\sin{x}+b\cos{x} &=& \sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{x}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{x}\right)\\ &=& \sqrt{a^2+b^2}(\cos\alpha\sin{x}+\sin\alpha\cos{x})\\ &=& \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha) \end{eqnarray*}

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