京大2010年度理系[甲]第1問(確率)

この記事の所要時間: 145

問題.

1 から 5 までの自然数を1列に並べる. どの並べかたも同様の確からしさで起こるものとする. このとき 1 番目と 2 番目と 3 番目の数の和と, 3 番目と 4 番目と 5 番目の数の和が等しくなる確率を求めよ. ただし, 各並べかたにおいて, それぞれの数字は重複なく 1 度ずつ用いるものとする.

確率の問題ですが, 京大で定番の漸化式を使うパターンではなく簡単なものとなっています.

解答.

1, 2, 3番目の数の和と3, 4, 5番目の数の和が等しいとき, 1, 2番目の数の和と4, 5番目の数の和が等しい.

1から5までの数のうち, 和が等しくなる2つずつの組(同じ数字の重複を許さない)は,

\begin{align*}
\left\{\begin{array}
(((1, 4), (2, 3))\\
((1, 5), (2, 4))\\
((2, 5), (3, 4))
\end{array}\right.
\end{align*}

の3通り.

それぞれに対して, 3番目の数は使われていない数字1通りに決まり, 2組の順番と, 各組の中の数字の並べ方がそれぞれ2通りずつ(*1) なので, 条件を満たす並べ方は

\(3\times 2\times 2\times 2=24\) 通り.

5 つの数字の並べ方は全部で \(5!=120\) 通りあるので, 求める確率は

\(\displaystyle \frac{24}{120} = \frac{1}{5}\).


(*1) 例えば, \(((1,4), (2, 3))\) の場合,

14523,  14532,  41523,  41532,

23514,  23541,  32514,  32541

の8通りで, 他の \(((1,5),(2,4)), ((2,5), (3,4))\) についてもそれぞれ 8 通りずつあります.

スポンサーリンク
sub2
sub2
  • このエントリーをはてなブックマークに追加

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください