方べきの定理

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方べきの定理

(1) 円の内部または外側の点 P を通る 2 本の直線がそれぞれ円と 2 点 A, B, C, D で交わっているとき, 次の式が成り立つ.

\[PA\cdot PB=PC\cdot PD\]

houbeki_1houbeki2

(2) 円の外部の点 P を通り, 円と 2 点 A, B で交わる直線と, 円と点 C で接する直線があるとき, 次の式が成り立つ.

\[PA\cdot PB = {PC}^2\]

houbeki_3

(2)のパターンは, (1)の点 P が円の外側にある場合で, 点 C と点 D が一致していると考えると覚えやすいです. この定理はすべて三角形の相似から証明されます.

証明.

(1) houbeki_prove_1[1]点 P が円の内側にある場合

円周角の定理より, \(\angle{BAC}=\angle{BDC}\), つまり \(\angle{PAC}=\angle{PDB}\)

また, 対頂角の関係から, \(\angle{APC}=\angle{DPB}\)

よって, \(\triangle{PAC}\)~\(\triangle{PDB}\)なので,

\(PA:PD=PC:PB\) より, \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).

[2] 点 P が円の外側にある場合

houbeki_prove_2円に内接する四角形の向かい合う角の和が \(180^\circ\) であることを用いて,

\(\angle{PAC}=\angle{PDB}\)

また, \(\angle{P}\) は共通なので

\(\triangle{PAC}\) ∽ \(\triangle{PDB}\).

\(PA:PD=PC:PB\) より, \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).

(2) 点 P が円の外部にあり, 直線が 1 本は円に接している場合

houbeki_prove_3接弦定理より, \(\angle{PBC}=\angle{PCA}\)

また, \(\angle{P}\) は共通.

よって, \(\triangle{PBC}\)∽\(\triangle{PCA}\).

\(PB:PC=PC:PA\) より, \(PA\cdot PB={PC}^2\).

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