方べきの定理

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方べきの定理

(1) 円の内部または外側の点Pを通る2本の直線がそれぞれ円と2点A, B, C, Dで交わっているとき, 次の式が成り立つ.

PA\cdot PB=PC\cdot PD

houbeki_1houbeki2

(2) 円の外部の点Pを通り, 円と2点A, Bで交わる直線と, 円と点Cで接する直線があるとき, 次の式が成り立つ.

PA\cdot PB = {PC}^2

houbeki_3

(2)のパターンは, (1)の点Pが円の外側にある場合で, 点Cと点Dが一致していると考えると覚えやすいです. この定理はすべて三角形の相似から証明されます.

証明.

(1) houbeki_prove_1[1]点Pが円の内側にある場合

円周角の定理より, \angle{BAC}=\angle{BDC}, つまり\angle{PAC}=\angle{PDB}

また, 対頂角の関係から, \angle{APC}=\angle{DPB}

よって, \triangle{PAC}\triangle{PDB}なので,

PA:PD=PC:PBより, PA\cdot PB=PC\cdot PD.

[2] 点Pが円の外側にある場合

houbeki_prove_2円に内接する四角形の向かい合う角の和が180^\circであることを用いて,

\angle{PAC}=\angle{PDB}

また, \angle{P}は共通なので

\triangle{PAC}\triangle{PDB}.

PA:PD=PC:PBより, PA\cdot PB=PC\cdot PD.

(2) 点Pが円の外部にあり, 直線が1本は円に接している場合

houbeki_prove_3接弦定理より, \angle{PBC}=\angle{PCA}

また, \angle{P}は共通.

よって, \triangle{PBC}\triangle{PCA}.

PB:PC=PC:PAより, PA\cdot PB={PC}^2.

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