トレミーの定理

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トレミーの定理(Ptoremy’s theorem)

ptoremy's_theorem円に内接する四角形ABCDの辺と対角線の長さについて以下の式が成り立つ. 

AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD

学校では教科書のコラムなどに出てくるだけの定理ですが, 知っているとセンター試験の図形の問題で楽ができることがあります. このページの下にある証明は, 上の定理の証明ですが, 実際には一般の四角形に関する次のような定理があります.

四角形ABCDの辺の長さと対角線の長さについて以下の不等式が成り立つ.

AB\cdot CD+AD\cdot BC\geqq AC\cdot BD

ただし, 等号成立はこの四角形が円に内接するときのみ.

この定理の証明は別の記事に書きます.

証明.

ptoremy's_theorem_prove

まず, \angle{BAE}=\angle{CAD}となるような点Eを線分BD上にとります.

\triangle{ABE}\triangle{ACD}について,

(1) \begin{equation*} \angle{BAE}=\angle{CAD} \end{equation*}

また, 円周角の定理より,

(2) \begin{equation*} \angle{ABE}=\angle{ACD} \end{equation*}

(1), (2)より\triangle{ABE}\triangle{ACD}となり,

AB:AC=BE:CDより

(3) \begin{equation*} AB\cdot CD=AC\cdot BE \end{equation*}

さらに, \triangle{ABC}\triangle{AED}について,

(4) \begin{eqnarray*} \angle{BAC}&=&\angle{BAE}+\angle{EAC}\\ &=& \angle{CAD}+\angle{EAC}\\ &=& \angle{EAD} \end{eqnarray*}

また, 円周角の定理より

(5) \begin{equation*} \angle{ACB} = \angle{ADE} \end{equation*}

(4), (5)より\triangle{ABC}\triangle{AED}となり,

AC:AD=BC:EDより

(6) \begin{equation*} AC\cdot ED=AD\cdot BC \end{equation*}

よって, (3), (6)を用いると,

(7) \begin{eqnarray*} AB\cdot CD+AD\cdot BC &=& AC\cdot BE + AC\cdot ED\\ &=& AC\cdot(BE+ED)\\ &=& AC\cdot BD \end{eqnarray*}

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