トレミーの定理

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トレミーの定理(Ptoremy’s theorem)

ptoremy's_theorem円に内接する四角形 ABCD の辺と対角線の長さについて以下の式が成り立つ. 

\[AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD\]

学校では教科書のコラムなどに出てくるだけの定理ですが, 知っているとセンター試験の図形の問題で楽ができることがあります. このページの下にある証明は, 上の定理の証明ですが, 実際には一般の四角形に関する次のような定理があります.

四角形 ABCD の辺の長さと対角線の長さについて以下の不等式が成り立つ.

\[AB\cdot CD+AD\cdot BC\geqq AC\cdot BD\]

ただし, 等号成立はこの四角形が円に内接するときのみ.

この定理の証明は別の記事に書きます.

証明.

ptoremy's_theorem_prove

まず, \(\angle{BAE}=\angle{CAD}\) となるような点 E を線分 BD 上にとります.

\(\triangle{ABE}\) と \(\triangle{ACD}\) について,

\begin{align}
\angle{BAE}=\angle{CAD} \tag{1}
\end{align}

また, 円周角の定理より,

\begin{align}
\angle{ABE}=\angle{ACD} \tag{2}
\end{align}

(1), (2)より \(\triangle{ABE}\) ∽ \(\triangle{ACD}\) となり,

\(AB:AC=BE:CD\) より

\begin{align}
AB\cdot CD=AC\cdot BE \tag{3}
\end{align}

さらに, \(\triangle{ABC}\) と \(\triangle{AED}\) について,

\begin{align}
\angle{BAC}&= \angle{BAE}+\angle{EAC}\\
&= \angle{CAD}+\angle{EAC}\\
&= \angle{EAD} \tag{4}
\end{align}

また, 円周角の定理より

\begin{align}
\angle{ACB} = \angle{ADE} \tag{5}
\end{align}

(4), (5)より \(\triangle{ABC}\) ∽ \(\triangle{AED}\) となり,

\(AC:AD=BC:ED\) より

\begin{align}
AC\cdot ED=AD\cdot BC \tag{6}
\end{align}

よって, (3), (6)を用いると,

\begin{align}
AB\cdot CD+AD\cdot BC &= AC\cdot BE + AC\cdot ED\\
&= AC\cdot(BE+ED)\\
&= AC\cdot BD
\end{align}

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