より一般的なトレミーの定理

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より一般的なトレミーの定理

Ptoremy2_theorem四角形 ABCD の辺と対角線の長さについて, 次の不等式が成り立つ.

\[AB\cdot CD+AD\cdot BC\geqq AC\cdot BD\]

等号が成立するのは, 四角形 ABCD が円に内接するときのみ.

この定理の等号の部分だけを取り上げた次の定理がトレミーの定理として有名です.

ptoremy's_theorem円に内接する四角形 ABCD について, 次の等式が成り立つ.

\[AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD\]

こちらの定理のみの証明はこちら.

証明.

Ptoremy2_theorem2四角形 ABCD に対して,

\(\triangle{ABE}\) ∽ \(\triangle{ADC}\)

となる点 E を, 辺 AB からみて点 C と反対側にとる. このとき,

\begin{align}
AB:AD=BE:DC=EA:CA \tag{1}
\end{align}

(1)より,

\begin{align}
AB\cdot DC=AD\cdot BE \tag{2}
\end{align}

\(\triangle{AEC}\) と \(\triangle{ABD}\) において,

(1)より, \(AE:AC=AB:AD\).

また, \(\angle{EAB}=\angle{CAD}\) から, \(\angle{EAC}=\angle{BAD}\)

よって, 2 辺の比とその間の角が等しいから, \(\triangle{AEC}\) ∽ \(\triangle{ABD}\) となり,

\(EC:BD=AC:AD\) より

\begin{align}
AC\cdot BD=AD\cdot EC \tag{3}
\end{align}

(3)-(2)より,

\begin{align}
AC\cdot BD-AB\cdot DC&= AD\cdot EC – AD\cdot BE\\
&= AD\cdot(EC-BE) \tag{4}
\end{align}

[1]3点 E, B, C が一直線上にないとき

\(\triangle{BEC}\) に関して, \(BC+BE>EC\) が成り立つので, \(BC>EC-BE\).

両辺に \(AD(>0)\) を掛けて,

\begin{align}
AD\cdot BC&>AD\cdot(EC-BE)\\
&= AC\cdot BD-AB\cdot DC\quad (\because (4)) \tag{5}
\end{align}

したがって, \(AB\cdot CD+AD\cdot BC>AC\cdot BD\).

[2] 3点 E, B, C が一直線上にあるとき

\(EB+BC=EC\) より, \(BC=EC-BE\)

両辺に \(AD(>0)\) を掛けて,

\begin{align}
AD\cdot BC &= AD(EC-BE)\\
&= AC\cdot BD-AB\cdot DC\quad(\because(4)) \tag{6}
\end{align}

したがって,

\begin{align}
AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD \tag{7}
\end{align}

逆に, (7) が成り立つとき, \(EB+BC=EC\) が成り立ち, 3点 E, B, C は一直線上にある.

このとき, \(\angle{EBA}+\angle{ABC}=180^\circ\) で, \(\triangle{ABE}\) ∽ \(\triangle{ADC}\) より, \(\angle{ADC}+\angle{ABC}=180^\circ\). 

よって四角形 ABCD は円に内接する.

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