より一般的なトレミーの定理

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より一般的なトレミーの定理

Ptoremy2_theorem四角形ABCDの辺と対角線の長さについて, 次の不等式が成り立つ.

AB\cdot CD+AD\cdot BC\geqq AC\cdot BD

等号が成立するのは, 四角形ABCDが円に内接するときのみ.

この定理の等号の部分だけを取り上げた次の定理がトレミーの定理として有名です.

ptoremy's_theorem円に内接する四角形ABCDについて, 次の等式が成り立つ.

AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD

こちらの定理のみの証明はこちら.

証明.

Ptoremy2_theorem2四角形ABCDに対して,

\triangle{ABE}\triangle{ADC}

となる点Eを, 辺ABからみて点Cと反対側にとる. このとき,

(1) \begin{equation*} AB:AD=BE:DC=EA:CA \end{equation*}

(1)より,

(2) \begin{equation*} AB\cdot DC=AD\cdot BE \end{equation*}

\triangle{AEC}\triangle{ABD}において,

(1)より, AE:AC=AB:AD

また, \angle{EAB}=\angle{CAD}から, \angle{EAC}=\angle{BAD}

よって, 2辺の比とその間の角が等しいから, \triangle{AEC}\triangle{ABD}となり,

EC:BD=AC:ADより

(3) \begin{equation*} AC\cdot BD=AD\cdot EC \end{equation*}

(3)-(2)より,

(4) \begin{eqnarray*} AC\cdot BD-AB\cdot DC&=&AD\cdot EC - AD\cdot BE\\ &=& AD\cdot(EC-BE) \end{eqnarray*}

[1]3点E, B, Cが一直線上にないとき

\triangle{BEC}に関して, BC+BE>ECが成り立つので, BC>EC-BE.

両辺にAD(>0)を掛けて,

(5) \begin{eqnarray*} AD\cdot BC&>&AD\cdot(EC-BE)\\ &=& AC\cdot BD-AB\cdot DC\quad (\because (4)) \end{eqnarray*}

したがって, AB\cdot CD+AD\cdot BC>AC\cdot BD

[2] 3点E, B, Cが一直線上にあるとき

EB+BC=ECより, BC=EC-BE

両辺にAD(>0)を掛けて,

(6) \begin{eqnarray*} AD\cdot BC &=& AD(EC-BE)\\ &=& AC\cdot BD-AB\cdot DC\quad(\because(4)) \end{eqnarray*}

したがって,

(7) \begin{equation*} AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD \end{equation*}

逆に, (7)が成り立つとき, EB+BC=ECが成り立ち, 3点E, B, Cは一直線上にある.

このとき, \angle{EBA}+\angle{ABC}=180^\circで, \triangle{ABE}\triangle{ADC}より, \angle{ADC}+\angle{ABC}=180^\circ

よって四角形ABCDは円に内接する.

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