トレミーの定理の応用例

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トレミーの定理の応用例

以前証明しているトレミーの定理の利用例を紹介します.

トレミーの定理は次のようなものでした.

ptoremy's_theorem円に内接する四角形ABCDの辺と対角線の長さについて, 次の等式が成り立つ.

AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD

例1. (正5角形の対角線の長さを求める)

penta1辺の長さが1の正5角形ABCDEの対角線の長さをxとおきます. 図のように, 四角形ABCDでトレミーの定理を当てはめると,

1\cdot 1+1\cdot x=x\cdot x

x^2-x-1=0

となるので, 解の公式を用いて解くとx>0から

\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

と求まります.

正5角形の対角線の長さは, 内部の三角形の相似からも求められますが, トレミーの定理を使った方が簡単です.

例2. (正7角形のもつ性質)

hepta1正7角形の2頂点を結ぶ線分の長さを短い方からa, b, cとします(右図).

このとき, 次の式が成り立つことが知られています.

\displaystyle \frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}

これもトレミーの定理から簡単に示すことができます.

hepta2右の図のような四角形でトレミーの定理を当てはめると,

a\cdot b+a\cdot c=b\cdot c

となるので, 両辺をabcで割れば

\displaystyle \frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}

となります.

例3. 正三角形を含む場合

tri1四角形ABCDの頂点のうち3つ(例えばB, C, D)が正三角形を作っている場合

BC=CD=BD

が成り立つことトレミーの定理から,

AB+AD=AC

というシンプルな式が導かれます.

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