京大2010年度理系[甲]第4問(数学的帰納法)

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問題.

数列\{a_n\}は, すべての正の整数nに対して\displaystyle 0\leqq 3a_n\leqq\sum_{k=1}^n a_kを満たしているとする. このとき, すべてのnに対してa_n=0であることを示せ.

数学的帰納法の次のような特別なパターンを使う問題です. このパターンを知っていれば比較的簡単に解けます.

[1] n=1のときを示す.

[2] n=1, 2, \cdots, mについて成り立つならn=m+1でも成り立つことを示す.

n=m+1の場合を示すのに, n=1からn=mのすべての場合の仮定が必要になっています.

解答.

\begin{equation*} 0\leqq 3a_n \leqq\sum_{k=1}^n a_k \end{equation*}

数学的帰納法で示します.

[1] n=1のとき

(1)でn=1とすると,

0\leqq 3a_1\leqq a_1

となり,

0\leqq 3a_1より0\leqq a_1

3a_1\leqq a_1より2a_1\leqq 0なのでa_1\leqq 0

よって, 0\leqq a_1\leqq 0よりa_1=0

[2] n=1, 2, \cdot, mについてa_n=0が成り立つと仮定すると,

a_1=a_2=\cdots=a_m=0なので,

\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{m+1} a_k &=& a_1+a_2+\cdots+a_m+a_{m+1}\\ &=& 0+0+\cdots+0+a_{m+1}\\ &=& a_{m+1} \end{eqnarray*}

となり,

(1)でn=m+1としたものを考えると

0\leqq 3a_{m+1}\leqq a_{m+1}

0\leqq 3a_{m+1}より0\leqq a_{m+1}

3a_{m+1}\leqq a_{m+1}より2a_{m+1}\leqq 0なので, a_{m+1}\leqq 0

よって, 0\leqq a_{m+1}\leqq 0よりa_{m+1}=0.

したがって, [1][2]よりすべてのnについてa_n=0である.

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