東大2014年度理系第4問(証明問題)

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問題

次の条件を満たす組(x, y, z)を考える.

条件(A) : x, y, zは正の整数で, x^2+y^2+z^2=xyzおよびx\leqq y\leqq zを満たす.

(1) 条件(A)を満たす組(x, y, z)で, y\leqq 3となるものをすべて求めよ.

(2) 組(a, b, c)が条件(A)を満たすとする. このとき, 組(b, c, z)が条件(A)を満たすようなzが存在することを示せ.

(3) 条件(A)を満たす組(x, y, z)は, 無数に存在することを示せ.

無限降下法ではないですが, 似た考え方をする問題です.

解答

(1) x\leqq y\leqq 3を見たす組を調べる.

x^2+y^2+z^2=xyzより,

(1) \begin{equation*} z^2-xyz+(x^2+y^2)=0 \end{equation*}

これをzについての2次方程式とみて, 正の整数解をもつ場合を考えると, 判別式D\geqq 0より

(xy)^2-4(x^2+y^2)\geqq 0

x^2y^2-4x^2-4y^2\geqq 0

(x^2-4)(y^2-4)\geqq 16

この不等式と0<x\leqq y\leqq 3を満たす(x, y)の組は

(x, y)= (3, 3)のみ.

このとき, 式(1)に代入すると,

z^2-9z+18=0

(z-3)(z-6)=0

\therefore z=3, 6

よって, (x, y, z)=(3, 3, 3), (3, 3, 6).

(2) a^2+b^2+c^2=abcが成り立つとする. このとき,

b^2+c^2+z^2=bczが成り立つと仮定してzを求める.

z^2-bcz+(b^2+c^2)=0

zについて解くと,

\displaystyle z=\frac{bc\pm \sqrt{b^2c^2-4(b^2+c^2)}}{2}

b^2+c^2=-a^2+abcを代入すると,

(2) \begin{eqnarray*} z&=&\frac{bc\pm\sqrt{b^2c^2-4(-a^2+abc)}}{2}\\ &=& \frac{bc\pm\sqrt{b^2c^2-4abc+4a^2}}{2}\\ &=& \frac{bc\pm\sqrt{(bc-2a)^2}}{2}\\ &=& \frac{bc\pm(bc-2a)}{2}\\ &=& bc-a, a \end{eqnarray*}

よって, z=bc-aとおくと, b^2+c^2+z^2=bczを満たす.

また,

(3) \begin{eqnarray*} z-c&=&bc-a-c\\ &=& \frac{abc-a^2-ac}{a}\\ &=& \frac{(a^2+b^2+c^2)-a^2-ac}{a}\\ &=& \frac{b^2+c^2-ac}{a}\\ &=& \frac{b^2+c(c-a)}{a}\\ &\geqq& 0 \end{eqnarray*}

より, z\geqq cを満たす.

以上より, z=bc-aとおけば組(b, c, z)は条件(A)を満たす.

(3) 以下の漸化式によって\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}を定める.

a_1=3, b_1=3, c_1=3

a_{n+1}= b_n, b_{n+1}= c_n, c_{n+1}=b_nc_n-a_n

すると, (2)の結果から, すべてのnについて

(a_n, b_n, c_n)は条件(A)を満たし, nによって異なる組となるので, 条件(A)を満たす組は無数に存在する.

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