東大2014年度理系第4問(証明問題)

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問題

次の条件を満たす組 \((x, y, z)\) を考える.

条件(A) : \(x, y, z\) は正の整数で, \(x^2+y^2+z^2=xyz\) および \(x\leqq y\leqq z\) を満たす.

(1) 条件(A)を満たす組 \((x, y, z)\) で, \(y\leqq 3\) となるものをすべて求めよ.

(2) 組 \((a, b, c)\) が条件(A)を満たすとする. このとき, 組 \((b, c, z)\) が条件(A)を満たすような \(z\) が存在することを示せ.

(3) 条件(A)を満たす組 \((x, y, z)\) は, 無数に存在することを示せ.

無限降下法ではないですが, 似た考え方をする問題です.

解答

(1) \(x\leqq y\leqq 3\) を見たす組を調べる.

\(x^2+y^2+z^2=xyz\) より,

\begin{align}
z^2-xyz+(x^2+y^2)=0 \tag{1}
\end{align}

これを \(z\) についての 2 次方程式とみて, 正の整数解をもつ場合を考えると, 判別式 \(D\geqq 0\) より

\((xy)^2-4(x^2+y^2)\geqq 0\)

\(x^2y^2-4x^2-4y^2\geqq 0\)

\((x^2-4)(y^2-4)\geqq 16\)

この不等式と \(0<x\leqq y\leqq 3\) を満たす \((x, y)\) の組は

\((x, y)= (3, 3)\) のみ.

このとき, 式(1)に代入すると,

\(z^2-9z+18=0\)

\((z-3)(z-6)=0\)

\(\therefore z=3, 6\)

よって, \((x, y, z)=(3, 3, 3), (3, 3, 6)\).

(2) \(a^2+b^2+c^2=abc\) が成り立つとする. このとき,

\(b^2+c^2+z^2=bcz\) が成り立つと仮定して \(z\) を求める.

\(z^2-bcz+(b^2+c^2)=0\)

\(z\) について解くと,

\(\displaystyle z=\frac{bc\pm \sqrt{b^2c^2-4(b^2+c^2)}}{2}\)

\(b^2+c^2=-a^2+abc\) を代入すると,

\begin{align}
z&= \frac{bc\pm\sqrt{b^2c^2-4(-a^2+abc)}}{2}\\
&= \frac{bc\pm\sqrt{b^2c^2-4abc+4a^2}}{2}\\
&= \frac{bc\pm\sqrt{(bc-2a)^2}}{2}\\
&= \frac{bc\pm(bc-2a)}{2}\\
&= bc-a, a \tag{2}
\end{align}

よって, \(z=bc-a\) とおくと, \(b^2+c^2+z^2=bcz\) を満たす.

また,

\begin{align}
z-c&= bc-a-c\\
&= \frac{abc-a^2-ac}{a}\\
&= \frac{(a^2+b^2+c^2)-a^2-ac}{a}\\
&= \frac{b^2+c^2-ac}{a}\\
&= \frac{b^2+c(c-a)}{a}\\
&\geqq 0 \tag{3}
\end{align}

より, \(z\geqq c\) を満たす.

以上より, \(z=bc-a\) とおけば組 \((b, c, z)\) は条件(A)を満たす.

(3) 以下の漸化式によって \(\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}\)を定める.

\(a_1=3, b_1=3, c_1=3\)

\(a_{n+1}= b_n, b_{n+1}= c_n, c_{n+1}=b_nc_n-a_n\)

すると, (2)の結果から, すべての \(n\) について

組 \((a_n, b_n, c_n)\) は条件(A)を満たし, \(n\)によって異なる組となるので, 条件(A)を満たす組は無数に存在する.

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