ペル方程式とは

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ペル方程式とその解法

今日はペル方程式というものを紹介します.

1 次方程式や 2 次方程式では変数 \(x\) や \(y\) は実数値をとりました. また, 高校で学習する不定方程式(\(2x+3y=23\) を満たす整数解を求める問題など)では, 変数 \(x, y\) が整数値をとりました. 今回紹介するペル方程式は自然数解を求める, 次のような問題です.

ペル方程式 : \(x^2-Dy^2=1\)

但し, \(D\) は自然数の定数とする.

このままではどこから手をつけてよいか分かりませんが, 実は次のような面白い性質があり, それを利用すれば簡単に解くことができます.

ペル方程式の性質 :

1. \(x^2-Dy^2=1\) の自然数解のうち, \(x\) の値が最小である解を \((x_1, y_1)\) とおくとき, 次のように自然数 \(x_n, y_n\) (\(n=2, 3, \cdots)\)を定めると \((x_n, y_n)\) もまた方程式の解である

\[x_n+y_n\sqrt{D}=(x_1+y_1\sqrt{D})^n\]

2. ペル方程式の解はすべて1. によって得られる

例として, 方程式 \(x^2-2y^2=1\) の解を求めてみましょう.

まず, \(x\) の値が最小である解を見つけます.

\(x=1\) とすると \(y=0\) となり自然数でないので不適です.

\(x=2\) とすると \(2y^2=3\) となり, このような自然数 \(y\) は存在しません.

\(x=3\) とすると \(y=2\) となり, 解 \((x_1, y_1)=(3, 2)\) が見つかりました.

では, 上で紹介した性質を使って他の解をいくつか求めてみます.

\((3+2\sqrt{2})^2=9+12\sqrt{2}+8=17+12\sqrt{2}\)

より, \((x_2, y_2)=(17, 12)\)

\((3+2\sqrt{2})^3=27+54\sqrt{2}+72+16\sqrt{2}=99+70\sqrt{2}\)

より, \((x_3, y_3)=(99, 70)\)

これらが方程式の解になっているかを確かめると,

\(17^2-2\cdot 12^2=289-2\cdot 144=1\)

\(99^2-2\cdot 70^2=9801-2\cdot 4900=1\)

となるので, 確かに方程式を満たしています.

次に, 一般解 \((x_n, y_n)\) を求めてみます.

\((x_1+y_1\sqrt{D})^n=x_n+y_n\sqrt{D}\) が成り立つとき,

\((x_1-y_1\sqrt{D})^n=x_n-y_n\sqrt{D}\) が成り立つという性質(これは数学的帰納法で示すことができます) を用いて, これらの式を右辺の \(x_n, y_n\) について解けば

\(\displaystyle x_n=\frac{1}{2}\left\{(x_1+y_1\sqrt{D})^n+(x_1-y_1\sqrt{D})^n\right\}\)

\(\displaystyle y_n=\frac{1}{2\sqrt{D}}\left\{(x_1+y_1\sqrt{D})^n-(x_1-y_1\sqrt{D})^n\right\}\)

と書くことができます. \(x_n\) や \(y_n\) は自然数なのに, それを表す右辺の式がルートを含んでいるので不思議な感じですね.

上の例の場合を当てはめると,

\(\displaystyle x_n=\frac{1}{2}\left\{(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n\right\}\)

\(\displaystyle y_n=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left\{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n\right\}\)

となります.

上の性質の証明はここでは(長くなるので)詳しくはしませんが, 参考までに, 次のような流れで示すことができます.  (—> 詳しい証明はこちら(pdfファイルです)).

(1) \((x,y)=(a, b), (c, d)\) がともに解であるとき, 次で定める \((A_n, B_n)\) 及び, \((c^\prime, d^\prime)\) も方程式の解となることを示す.

\[(a+b\sqrt{D})^n=A_n+B_n\sqrt{D}\]

\[\displaystyle\frac{c+d\sqrt{D}}{a+b\sqrt{D}}=c^\prime+d^\prime\sqrt{D}\]

(2) \((x, y)=(p, q)\) がすべての解のうち$x$の値が最小のもの

⇔\((p, q)\) がすべての解のうち \(x+y\sqrt{D}\) の値を最小とするもの

を示す.

(3) \(x+y\sqrt{D}\) の値を最小とする解を \((p, q)\) とすると, 任意の解 \((x, y)\) について

\((p+q\sqrt{D})^n\leqq x+y\sqrt{D}<(p+q\sqrt{D})^{n+1}\) となる \(n\) が存在するが, 各辺を \((p+q\sqrt{D})^n\) で割ることで,

\(\displaystyle 1\leqq \frac{x+y\sqrt{D}}{(p+q\sqrt{D})^n}<p+q\sqrt{D}\)

となる. 真ん中の項を有利化したときに \(s+t\sqrt{D}\) になるとおくと, \((p, q)\) の解の最小性の仮定から \((s, t)\) は自然数解ではなく \(s=1, t=0\) と求まる.

次回の記事で, 実際にペル方程式がでてくる問題をいくつか紹介します.

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