メネラウスの定理とその逆

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メネラウスの定理

メネラウスの定理

定理 : \triangle{ABC}の辺BC, CA, ABまたはその延長が, 三角形の頂点を通らない直線lとそれぞれ点P, Q, Rで交わるとき, 次の等式が成り立つ.

\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot \frac{AR}{RB}=1

Menelaus1

[1]

Menelaus2

[2]

この定理では考えられる図として[1]の交点のうち2つが三角形の返上にある場合と, [2]の3つの交点すべてが三角形の辺の延長上にある場合の2通りが考えられます.

[1]はよく使うのに対して, [2]の場合はたまにしか使わず, 気付きにくいですが, どちらも重要です.

この定理の式は見た目はややこしいですが, 三角形の頂点と, 直線lとの交点とを交互にたどっていくイメージをすれば覚えやすいです.

(頂点B→交点P→頂点C→交点Q→頂点A→交点R→頂点B)

メネラウスの定理の逆

定理 : (メネラウスの定理の逆)

\triangle{ABC}の辺BC, CA, ABまたはその延長上に, それぞれ点P, Q, Rがあり, この3点のうち1個または3個が辺の延長上の点であるとする. このとき,

\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1

が成り立つならば, 3点P, Q, Rは一直線上にある.

Menelaus_reverse1

[1]

Menelaus_reverse2

[2]

メネラウスの定理ほどではありませんが, こちらも重要な定理です.

証明

メネラウスの定理

Menelaus_prove1Menelaus_prove2

\trianagle{ABC}の頂点Cを通り, 直線lに平行な直線を引き, 直線ABとの交点をDとすると, いずれの図の場合も平行線と比に関する定理から,

\displaystyle \frac{BP}{PC}=\frac{BR}{RD}

\displaystyle\frac{CQ}{QA}=\frac{DR}{RA}

よって,

(1) \begin{eqnarray*} \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot \frac{AR}{RB} &=& \frac{BR}{RD}\cdot\frac{DR}{RA}\cdot\frac{AR}{RB}\\ &=& 1 \end{eqnarray*}

となる.                                  ▯

メネラウスの定理の逆

直線QRと辺BCの延長の交点をP^\primeとすると, メネラウスの定理より

\displaystyle \frac{BP^\prime}{P^\prime C}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1

が成り立つが, 一方仮定より

\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1

なので,

\displaystyle \frac{BP^\prime}{P^\prime C}=\frac{BP}{PC}

PP^\primeはともに辺BCの延長上にあるので, 2点PP^\primeは一致する.

よって, 3点P, Q, Rは一直線上にある.     ▯

逆の証明にメネラウスの定理自身を使っているので不思議な感じですが, 元の定理とその逆は互いに独立の命題なので問題ありません.

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