チェバの定理とその逆

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チェバの定理

チェバの定理

定理 : \triangle{ABC}の頂点A, B, Cと, この三角形の辺及びその延長上に無い点Oを結ぶ. 各直線が対辺またはその延長とそれぞれ点P, Q, Rで交わるとき, 次の等式が成り立つ.

\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1

Ceva1Ceva2

この定理では点Oが三角形の内部にある場合(左の図)と外側にある場合(右の図)があります. よく使うのは左の図の場合ですが, 右側のような場合も使えることを覚えておきましょう.

公式の覚え方としては, メネラウスの定理の場合とほとんど同じですが, 三角形の頂点と, 辺(またはその延長)上の点を交互にたどっていくイメージです.

チェバの定理の逆

\triangle{ABC}の辺BC, CA, ABまたはその延長上にそれぞれ点P, Q, Rがあり, この3点のうち1個または3個が辺上の点であるとする. このとき,

BQCRが交わり, かつ

\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1

が成り立つならば, 3直線AP, BQ, CRは1点で交わる.

証明

チェバの定理

O\triangle{ABC}の内部にある場合, 外部にある場合にかかわらず,

三角形の面積と線分の比の関係から,

BP:PC=\triangle{OAB}:\triangle{OAC}

すなわち\displaystyle \frac{BP}{PC}=\frac{\triangle{OAB}}{\triangle{OAC}}

同様に,

\displaystyle \frac{CQ}{QA}=\frac{\triangle{OBC}}{\triangle{OAB}}

\displaystyle \frac{AR}{RB}=\frac{\triangle{OAC}}{\triangle{OBC}}

以上より,

(1) \begin{eqnarray*} \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB} &=& \frac{\triangle{OAB}}{\triangle{OAC}}\cdot\frac{\triangle{OBC}}{\triangle{OAB}}\cdot\frac{\triangle{OAC}}{\triangle{OBC}}\\ &=& 1 \end{eqnarray*}

チェバの定理の逆

2直線BQ, CRの交点をOとして, 直線AOと辺BCの交点をP^\primeとする.

このとき, チェバの定理より

\displaystyle \frac{BP^\prime}{P^\prime C}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1

一方, 仮定より

\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1

なので,

\displaystyle \frac{BP^\prime}{P^\prime C}=\frac{BP}{PC}

PP^\primeはともにBC上にあるので一致する.

よって, 3直線AP, BQ, CRは1点で交わる.

チェバの定理の逆の応用例

別のページでチェバの定理の逆の応用例として, 三角形の垂心, 内心, 重心の存在の証明を紹介しています.

—>チェバの定理の逆の応用例

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