三角形と角の2等分線に関する定理

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三角形と角の2等分線に関する定理

定理

定理1 :

\triangle{ABC}\angle{A}の2等分線と辺BCとの交点をDとすると,

AB : AC = BD : DC

が成り立つ.

kakunonitoubunsen1

また, 三角形の外角の二等分線に関しても同様の定理が成り立ちます.

定理2 :

AB\neq ACである\triangle{ABC}\angle{A}の外角の2等分線と辺BCの延長との交点をDとすると,

AB : AC = BD : DC

が成り立つ.

kakunonitoubunsen2

また, 次の定理は高校では習わないですが, 知っておくと検算用などで役に立ちます.

定理3 :

\triangle{ABC}\angle{A}の2等分線と辺BCの交点をDとすると,

{AD}^2 = AB\cdot AC - BD\cdot CD

が成り立つ.

三角形の3辺の長さが分かっていれば, 定理1を用いてBD, CDの長さが分かるので, この定理を用いればADの長さが簡単に求まります.

証明.

定理1.

kakunonitoubunsen_prove1

Cを通りADに平行な直線を引いて, BAの延長との交点をEとすると,

同位角で\angle{BAD}=\angle{AEC}

錯角も等しく, \angle{ACE}=\angle{CAD}

仮定より\angle{BAD}=\angle{CAD}

でもあるから, \angle{AEC}=\angle{ACE}

となって, \triangle{ACE}は二等辺三角形で, AC=AE.

一方で, \triangle{BEC}においてAD\para CEより

AB : AE = BD : DC

よって, AB : AC = BD : DC.

定理2.

kakunonitoubunsen_prove2

Cを通り, ADに平行な直線を引いて, BAとの交点をEとすると, 定理1の場合同様に同位角, 錯角が等しいことを用いて,

\angle{AEC}=\angle{ACE}

となり, \triangle{ACE}は二等辺三角形で, AC = AE.

一方でAD\para CEより

AB : AE = BD : CD

よって, AB : AC = BD : CD.

定理3.

定理3の証明は別のページ(三角形の内角の2等分線を引いた長さに関する定理)を見てください.

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