三角形の内角の2等分線を引いた長さに関する定理

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三角形の内角の2等分線を引いた長さに関する定理

定理.

定理 :

\triangle{ABC}\angle{A}の2等分線と辺BCの交点をDとすると,

{AD}^2 = AB\cdot AC - BD\cdot CD

が成り立つ.

kakunonitoubunsen1

この定理は三角形の角の2等分線に関する定理のページでも紹介しましたが, 中学や高校では習わない定理です. しかし知っておくと検算用としても便利です.

問題の例.

: AB=5, AC=3, BC=7である\triangle{ABC}について, \angle{A}の2等分線と辺BCの交点をDとするとき, BDおよびADの長さを求めよ.

:

角の2等分線の定理により,

BD : CD = AB : AC = 5 : 3

なので,

\displaystyle BD = 7\cdot \frac{5}{8}=\frac{35}{8}

\displaystyle CD = 7\cdot \frac{3}{8} = \frac{21}{8}

また, 上の定理より

\displaystyle AD^2 = 5\cdot 3 - \frac{35}{8}\cdot\frac{21}{8} = \frac{225}{64}

となり,

\displaystyle AD = \frac{15}{8}.

証明.

kakunonitoubunsen3

直線AD\triangle{ABC}の外接円との交点のうちAでない方の点をEとする.

ABの円周角より,

\angle{ACD}=\angle{AEB}

また, 仮定より

\angle{DAC}=\angle{BAE}

なので,

\triangle{ACD}\triangle{AEB}.

よって,

AD : AB = AC : AE

より,

AD\cdot AE = AB\cdot AC

ところで, AE=AD+DEなので,

AD(AD+DE)=AB\cdot AC

\therefore AD^2=AB\cdot AC - AD\cdot DE.

方べきの定理を用いると,

AD\cdot DE = BD\cdot CD

が成り立つので,

AD^2 = AB\cdot AC - BD\cdot CD

となる.

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