ヘロンの公式(三角形の面積を求める)

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ヘロンの公式

公式.

ヘロンの公式 :

3辺の長さがそれぞれa, b, cであるような三角形の面積Sは次の式で求まる.

S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)s}

但し, \displaystyle s = \frac{a+b+c}{2}とする.

heron

ヘロンの公式は, 三角形の3辺の長さが分かっているときにその面積を求めるための公式です.

実際に計算してみると分かるのですが, 3辺の長さがすべて有理数の場合は計算が楽ですが, そうでない場合(有理数と無理数とが混ざっている場合, 例えば3辺の長さが\sqrt{2}, \sqrt{3}, 3の場合など)はこの公式を使うと計算が大変になるので, 他の方法を使いましょう(このページの最後の項目参照).

例.

3辺の長さが7, 5, 8 である三角形の面積は,

\displaystyle s=\frac{7+5+8}{2}=10

として,

(1) \begin{eqnarray*} S &=& \sqrt{(10-7)(10-5)(10-8)10}\\ &=& 10\sqrt{3} \end{eqnarray*}

3辺の長さが3, 5, 7である三角形の面積は,

\displaystyle s=\frac{3+5+7}{2}=\frac{15}{2}

として,

(2) \begin{eqnarray*} S &=& \sqrt{\left(\frac{15}{2}-3\right)\left(\frac{15}{2}-5\right)\left(\frac{15}{2}-7\right)\frac{15}{2}} \\ &=& \sqrt{\frac{9}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{15}{2}}\\ &=& \frac{15}{4}\sqrt{3} \end{eqnarray*}

証明.

証明方法はいろいろありますが, ここでは三角関数を用いる方法を使います.

長さがb, cの辺に挟まれた角の大きさを\thetaとすると,

余弦定理により

(3) \begin{equation*} \cos{\theta} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \end{equation*}

0<\theta <\piより, \sin{\theta}>0なので,

(4) \begin{eqnarray*} \sin{\theta} &=& \sqrt{1-\cos^2{\theta}}\\ &=& \sqrt{1-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2}\\ &=& \frac{1}{2bc}\sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}\\ &=& \frac{1}{2bc}\sqrt{\{2bc+(b^2+c^2-a^2)\}\{2bc-(b^2+c^2-a^2)\}}\\ &=& \frac{1}{2bc}\sqrt{\{(b+c)^2-a^2\}\{-(b-c)^2+a^2\}}\\ &=& \frac{1}{2bc}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \end{eqnarray*}

よって, 三角形の面積は

(5) \begin{eqnarray*} S &=& \frac{1}{2}bc\sin{\theta}\\ &=& \frac{1}{2}bc\times \frac{1}{2bc}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ &=& \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ &=& \sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{-a+b+c}{2}\cdot\frac{a-b+c}{2}\cdot\frac{a+b-c}{2}} \end{eqnarray*}

\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}とおくと,

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.

辺の長さが有理数でない場合

辺の長さに無理数が混じっているなど, ヘロンの公式を使おうとすると計算がややこしくなる場合があります.

その場合は, 上のヘロンの公式を導いた過程の計算を実際に行う方が計算が楽になる場合があります.

例.

3辺の長さが\sqrt{2}, \sqrt{3}, 3の場合.

長さ\sqrt{2}\sqrt{3}の辺の間の角を\thetaとすると, 余弦定理により

(6) \begin{eqnarray*} \cos{\theta} &=& \frac{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2-3^2}{2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}\\ &=& -\frac{\sqrt{6}}{3} \end{eqnarray*}

0<\theta<\piより\sin{\theta}>0なので,

(7) \begin{eqnarray*} \sin{\theta} &=& \sqrt{1-\cos^2{\theta}}\\ &=& \sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2}\\ &=& \sqrt{\frac{1}{3}}\\ &=& \frac{\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}

よって, 三角形の面積は

(8) \begin{eqnarray*} S &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\\ &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}

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