区分求積法と特殊な和の計算(自作問題1-(5))

この記事の所要時間: 512

問題.

今回は自作問題集の1-(5)の特殊な和の計算と区分求積法の問題の解答・解説です.

問題. 

2以上の自然数nに対して,

\displaystyle a_n = \frac{1}{n}\sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} \{k(k+1)\cdots(k+n-2)\}}

とおくとき, \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_nを求めよ. 必要であれば\displaystyle \lim_{t\to\infty} \frac{t}{e^t}を用いてよい.

まず, n乗根の中の式を計算します. 詳しくは特殊な和の計算に書いてあります.

さらに, 与えられた式の形そのままでは計算ができないので, 両辺自然対数をとって, \displaystyle \lim_{n\to\infty} \log{a_n}を計算していきます.

この部分の計算は多少煩雑になりますが, 区分求積法を使える形を意識して変形していきます. .

解答例.

まずn乗根の中について計算します.

\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \{k(k+1)\cdots(k+n-2)\} &=& \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \{k(k+1)\cdots(k+n-2)(k+n-1) \\ & &\quad\quad\quad\quad- (k-1)k(k+1)\cdots(k+n-2)\}\\ &=& \frac{1}{n} \times n(n+1)\cdots(n+n-2)(n+n-1)\\ &=& (n+1)(n+2)\cdots(2n-2)(2n-1) \end{eqnarray*}

よって,

\begin{equation*} a_n = \frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(2n-2)(2n-1)} \end{equation*}

a_n>0なので, 両辺自然対数をとって,

\begin{eqnarray*} \log{a_n} &=& \log\left\{\frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(2n-2)(2n-1)}\right\}\\ &=& \log{\frac{1}{n}} + \sum_{k=1}^{n-1}\log{(n+k)^{\frac{1}{n}}}\\ &=& \log{\frac{1}{n}} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} \log(n+k)\\ &=& -\log{n} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} \left\{\log{n}+\log\left(1+\frac{k}{n}\right)\right\}\\ &=& -\log{n} + \frac{n-1}{n}\log{n} +\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} \log\left(1+\frac{k}{n}\right)\\ &=& -\frac{1}{n}\log{n}+\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \log\left(1+\frac{k}{n}\right) \quad (\because k=0,  \log\left(1+\frac{k}{n}\right)=0)\\ \end{eqnarray*}

よって,

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \log{a_n} = \lim_{n\to\infty} \left\{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \log\left(1+\frac{k}{n}\right) -\frac{1}{n}\log{n}\right\} \end{equation*}

ここで, \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^t}=0において, t=\log{n}とおくと, e^t=nで, t\to\inftyのときn\to\inftyなので,

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{\log{n}}{n} = 0 \end{equation*}

また,区分求積法により

\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \log\left(1+\frac{k}{n}\right) &=& \int_{0}^{1} \log(1+x) dx\\ &=& \Big[(1+x)\log(1+x)-x\Big]_{0}^{1}\\ &=& 2\log{2}-1\\ &=& \log{\frac{4}{e}} \end{eqnarray*}

以上より,

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \log{a_n} = \log{\frac{4}{e}} \end{equation*}

となるから, 対数関数の連続性から

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} a_n = \frac{4}{e} \end{equation*}

スポンサーリンク
sub2
sub2
  • このエントリーをはてなブックマークに追加

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください