コンビネーションと和の計算(自作問題(8))

この記事の所要時間: 338

問題.

今回は, 自作問題の1-(8), コンビネーションと和の計算の解答, 解説です.

問題 :

\displaystyle p_n = \sum_{k=0}^n k\cdot{}_nC_k

及び,

\displaystyle q_n = \sum_{k=n+1}^{2n} {}_kC_n

をそれぞれ計算せよ. 但し, nは自然数である.

今回の問題は, コンビネーションの計算において重要なものを集めた形になっています.

p_nについては, まず

1\leqq k\leqq nのとき

k\cdot {}_nC_k = n\cdot {}_{n-1}C_{k-1}

という性質を使います. この等式を示すための変形は下の解答例の中に書いています.

そして, 二項定理

\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {}_nC_k\cdot a^k\cdot b^{n-k}

において, a=b=1, nの部分をn-1とした式を利用します.

q_nについては, コンビネーションが満たす式

{}_nC_k = {}_{n-1}C_{k-1}+{}_{n-1}C_{k}

を利用します.

解答例.

p_nについて

k=0のときk\cdot{}_nC_k=0なので, \displaystyle p_n=\sum_{k=1}^{n} k\cdot{}_nC_k

n=1のとき

\begin{equation*} p_1=1\cdot {}_1C_1=1 \end{equation*}

n\geqq 2のとき

\begin{eqnarray*} k\cdot{}_nC_k &=& k\cdot\frac{n!}{k!(n-k)!}\\ &=& n\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\\ &=& n\cdot{}_{n-1}C_{k-1} \end{eqnarray*}

なので,

\begin{eqnarray*} p_n &=& \sum_{k=1}^{n} n\cdot{}_{n-1}C_{k-1}\\ &=& n\sum_{k=1}^{n} {}_{n-1}C_{k-1}\\ &=& n\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n-1}C_{k}\\ &=& n\cdot 2^{n-1} \end{eqnarray*}

2行目から3行目は, k-1を改めてkとおき直しています.

この式はn=1のときも成り立つので, p_n = n\cdot 2^{n-1}

q_nについて

{}_kC_n + {}_kC_{n+1} = {}_{k+1}C_{n+1}が成り立つことから,

{}_kC_n = {}_{k+1}C_{n+1}-{}_kC_{n+1}なので,

\begin{eqnarray*} q_n &=& \sum_{k=n+1}^{2n} {}_kC_n\\ &=& \sum_{k=n+1}^{2n} ({}_{k+1}C_{n+1}-{}_kC_{n+1})\\ &=& {}_{2n+1}C_{n+1}-{}_{n+1}C_{n+1}\\ &=& {}_{2n+1}C_{n+1}-1 \end{eqnarray*}

2行目から3行目では別の記事「特殊な形の和の計算」で紹介した形になっています.

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