2項定理の応用2(自作問題1-(9))

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問題.

問題.

x^{2n}(x-2)^nで割ったときの商をQ(x), 余りをR(x)とする.

R(x)の最高次の項の係数と, 定数項を求めよ. nは自然数とする.

整式の割り算の問題. (x-2)^nで割った余りなので, 剰余の定理では処理できません.

そこで,

x^{2n}=(x-2)^nQ(x)+R(x)

のような形をつくるために,

x^{2n}=\{(x-2)+2\}^n

と考えて展開します.

解答例.

\begin{eqnarray*} P(x) &=& x^{2n}\\ &=& \{(x-2)+2\}^{2n}\\ &=& \sum_{k=0}^{2n} {}_{2n}C_k\cdot (x-2)^k\cdot 2^{2n-k}\\ &=& (x-2)^n \sum_{k=n}^{2n} {}_{2n}C_k\cdot (x-2)^{k-n}\cdot 2^{2n-k} + \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot (x-2)^k\cdot 2^{2n-k} \end{eqnarray*}

より,

\begin{eqnarray*} Q(x) &=& \sum_{k=n}^{2n} {}_{2n}C_k\cdot (x-2)^{k-n}\cdot 2^{2n-k}\\ R(x) &=& \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot (x-2)^k\cdot 2^{2n-k} \end{eqnarray*}

R(x)の最高次の項はx^{n-1}の項で, k=n-1のときのみ出てくるので, その係数は

\begin{equation*} {}_{2n}C_{n-1}\cdot 2^{2n-(n-1)} = {}_{2n}C_{n-1}\cdot 2^{n+1} \end{equation*}

次に, (x-2)^kの展開式の定数項は(-2)^kなので, R(x)の定数項は,

\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot(-2)^k\cdot 2^{2n-k} &=& \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C{k}\cdot (-1)^k\cdot 2^{2n}\\ &=& 2^{2n}\sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot (-1)^k \end{eqnarray*}

ここで,

\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot (-1)^k &=& \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_{2n-k} \cdot (-1)^{2n-k} \\ &=& \sum_{k=n+1}^{2n} {}_{2n}C_k\cdot (-1)^k \end{eqnarray*}

最後の変形では2n-kkと改めておき直して, 和の順番を逆にしています.

よって,

\begin{eqnarray*} 2\sum_{k=0}^{n-1}{}_{2n}C_k\cdot (-1)^k + {}_{2n}C_n\cdot(-1)^n &=& \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot (-1)^k + {}_{2n}C_n\cdot(-1)^n+\sum_{k=n+1}^{2n}{}_{2n}C_k\cdot(-1)^k\\ &=&\sum_{k=0}^{2n}{}_{2n}C_{k}\cdot (-1)^k\\ &=& (-1+1)^{2n}\\ &=& 0 \end{eqnarray*}

となるので,

\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n-1} {}_{2n}C_k\cdot(-1)^k = -\frac{1}{2}\cdot {}_{2n}C_n\cdot(-1)^n \end{equation*}

従って, R(x)の定数項は

\begin{equation*} 2^{2n}\times \left\{-\frac{1}{2}\cdot{}_{2n}C_n\cdot(-1)^n\right\} = -\frac{1}{2}\cdot(-4)^n\cdot {}_{2n}C_n \end{equation*}

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