指数

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指数の定義と性質

累乗根

nは自然数とする. n乗して(n回同じものを掛けて)aになる数をan乗根といいます.

定義(n乗根) :

(1) nが偶数のとき

(i)a>0であれば, 実数のn乗根は絶対値の等しいものが正負1つずつ存在し, 正のものを\sqrt[n]{a}, 負のものを-\sqrt[n]{a}と表す.

(ii) a<0であれば, 実数のn乗根は存在しない.

特に, n=2の場合は\sqrt[2]{a}\sqrt{a}と書く.

(2) nが奇数のとき

aの実数のn乗根は, aと同符号のものがただ一つ存在し, それを\sqrt[n]{a}と表す.

(\ast) 0のn乗根は, nにかかわらず0.

このとき, 次の公式が成り立ちます.

累乗根の公式 : m, n, pは正の整数で, a>0, b>0とする.

(1) (\sqrt[n]{a})^n=a ,      (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}

\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}},     \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}

(2) \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},    \displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}

例.

  • \sqrt[6]{64}=2
  • \sqrt[5]{-32}=-2
  • \sqrt{27}\times\sqrt[4]{9}=\sqrt{27}\times\sqrt{3}=\sqrt{81}=9

指数の拡張1(有理数範囲)

指数の拡張

aを実数, m, nを正の整数とするとき, 次のように定義します.

(1) a^0=1 (a\neq 0),    \displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}

(2) \displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},

\displaystyle a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}

但し, nが奇数でmが偶数のときはa>0とします.

指数法則

指数について, 次の法則が成り立ちます.

指数法則 : a, bを正の数, m, nを有理数とするとき,

(1) a^s\times a^t=a^{s+t},   a^s\div a^t=a^{s-t},   (a^s)^t=a^{st}

(2) (ab)^t=a^tb^t,     \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^t=\frac{a^t}{b^t}

指数の拡張2(実数範囲)

a^xxが無理数の場合については, 各項が有理数で, xに収束する数列\{x_n\}を考えて, a^{x_n}が収束する値をa^xとします.     (*注1)

例えば, a^{\sqrt{2}}の場合, \sqrt{2}に収束する数列1, 1.4, 1.41, 1.414, \ldotsを用いて, a^1, a^{1.4}, a^{1.41}, a^{1.414}, \ldotsを考え, この数列の収束する値をa^{\sqrt{2}}とします.

このように定義することで, 指数法則はstが実数の範囲でも成り立ちます.

例.

  • \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\{a(a\cdot a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{2}}=\{a(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{2}}=(a\cdot a^{\frac{3}{4}})^{\frac{1}{2}}=(a^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{7}{8}}
  • \{(\sqrt{3})^{\sqrt{2}}\}^{\sqrt{2}}=(\sqrt{3})^(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2=3

(*注1) 任意の無理数xに対して, xに収束する有理数の数列が存在すること, また, 数列\{x_n\}の取り方にかかわらず\{a^{x_n}\}が同じ値に収束することが知られています.

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