指数の定義と性質
累乗根
は自然数とする.
乗して(
回同じものを掛けて)
になる数を
の
乗根といいます.
定義(乗根) :
(1) が偶数のとき
(i)であれば, 実数の
乗根は絶対値の等しいものが正負1つずつ存在し, 正のものを
, 負のものを
と表す.
(ii) であれば, 実数の
乗根は存在しない.
特に, の場合は
を
と書く.
(2) が奇数のとき
の実数の
乗根は,
と同符号のものがただ一つ存在し, それを
と表す.
() 0の
乗根は,
にかかわらず0.
このとき, 次の公式が成り立ちます.
累乗根の公式 : は正の整数で,
,
とする.
(1) ,
,
(2) ,
例.
指数の拡張1(有理数範囲)
指数の拡張
を実数,
を正の整数とするとき, 次のように定義します.
(1) (
),
(2) ,
但し, が奇数で
が偶数のときは
とします.
指数法則
指数について, 次の法則が成り立ちます.
指数法則 : を正の数,
を有理数とするとき,
(1) ,
,
(2) ,
指数の拡張2(実数範囲)
の
が無理数の場合については, 各項が有理数で,
に収束する数列
を考えて,
が収束する値を
とします. (*注1)
例えば, の場合,
に収束する数列
を用いて,
を考え, この数列の収束する値を
とします.
このように定義することで, 指数法則はや
が実数の範囲でも成り立ちます.
例.
(*注1) 任意の無理数に対して,
に収束する有理数の数列が存在すること, また, 数列
の取り方にかかわらず
が同じ値に収束することが知られています.