対数

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対数の定義と性質

対数の定義

a^m=M (a>0, a\neq 1)のとき, 指数mを, aとするMの対数といい,

m=\log_a{M}と書く. このとき, M真数といい, 真数は常に正である.

特に, 対数の底aが10のときlog_{10}{M}を常用対数という.

また, 底a\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^nのとき\log_e{M}を自然対数といい, このとき底を省略して\log{M}と書くことがある. また, このe自然対数の底という.                                          (*注1)

(*注1) 物理学の分野によっては, 自然対数よりも常用対数をよく用いるために, 常用対数の底を省略することもあります.

対数の基本性質

a>0, a\neq 1, M, N>0とする.

(1) \log_a{a}=1,    \log_a{1}=0

(2) \log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}

(3) \log_a{\frac{M}{N}}=\log_a{M}-\log_a{N},   \log_a{\frac{1}{M}}=-\log_a{M}

(4) \log_a{M^p}=p\log_a{M},     \log_a{\sqrt[n]{M^m}}=\frac{m}{n}\log_a{M}

(5) (底の変換公式)

b>0, b\neq 1として,

\displaystyle \log_a{M}=\frac{\log_b{M}}{\log_b{a}}

\displaystyle \log_b{a}=\frac{1}{\log_a{b}}

(6) a^{\log_a{M}}=M

(証明)

\log_a{M}=m, \log_a{N}=nとおくと, M=a^m, N=a^n.

(1) a^1=a, a^0=1より.

(2) MN=a^m\cdot a^n=a^{m+n}より\log_a{MN}=m+n=\log_a{M}+\log_a{N}

(3) 同様.

(4) M^p=(a^m)^p=a^{pm}より, \log_a{M^p}=pm=p\log_a{M}.

(5) \log_b{M}=\log_b{a^m}=m\log_b{a}より, \displaystyle \log_a{M}=m=\frac{\log_b{M}}{\log_b{a}}

(6)M=a^m=a^{\log_a{M}}

例1.

  • \log_{\sqrt{2}}8=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^6=6
  • 5^{3\log_5{2}}=5^{\log_5{2^3}}=2^3=8
  • \displaystyle \log_4{5}\cdot\log_5{2}=\log_4{5}\cdot\log_5{4^{\frac{1}{2}}}=\log_4{5}\cdot\frac{1}{2}\log_5{4}=\frac{1}{2}

例2.

問. \log_{10}{2}=0.3010, \log_{10}{3}=0.4771とするとき, \log_{10}{15}を求めよ.

解答.

\begin{eqnarray*} \log_{10}{15} &=& \log_{10}{\frac{3\cdot 10}{2}}\\ &=& \log_{10}{3}+\log_{10}{10}-\log_{10}{2}\\ &=& 0.4771 + 1 - 0.3010\\ &=& 1.1761 \end{eqnarray*}

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