指数関数, 対数関数

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指数関数, 対数関数

指数関数

y=a^x, (a>0, a\neq 1) を, aを底とするxの指数関数といいます.

常にy>0が成り立ち,

(1) a>1のとき単調増加関数

(2) 0<a<1のとき単調減少関数

指数関数のグラフ

指数関数のグラフには次の性質があります.

(1) 点(0, 1)を通る.

(2) x軸の上側にあり, x軸が漸近線となっている.

(3) y=a^xのグラフと\displaystyle y=\left(\frac{1}{a}\right)^xのグラフはy軸に対して対称である.

exponent_1plus

a>1

exponent_1minus

0<a<1

(1) はa^0=1から明らか.

(2) は, a>1のとき\displaystyle \lim_{x\to-\infty}a^x=0,

0<a<1のとき\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=0

であることを表しています.

(3) は, \displaystyle \left(\frac{1}{a}\right)^x=a^{-x}であることから分かります.

対数関数

指数関数y=a^x, (a>0, a\neq 1)の逆関数y=\log_{a}{x}aを底とする対数関数といいます. 定義域はx>0で,

(1) a>1のとき単調増加関数

(2) 0<a<1のとき単調減少関数

対数関数のグラフ

対数関数y=\log_{a}{x}のグラフは, 指数関数y=a^xのグラフと直線y=xに関して対称で,

(1) 点(1, 0)を通る.

(2) y軸の右側にあり, y軸が漸近線となっている.

(3) y=\log_{a}{x}のグラフと\displaystyle y=\log_{\frac{1}{a}}{x}のグラフはx軸に関して対称

logarithm_1plus

a>1

logarithm_1minus

0<a<1

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