指数方程式, 指数不等式

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指数方程式・指数不等式

指数方程式

指数方程式とは, 次に示すような変数xが指数部分に含まれる方程式です.

\begin{equation*} 2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4=0 \end{equation*}

このような場合, 次の手順で解きます.

  1. 指数部分(今回の場合2^x)をyとおく.
  2. 方程式をyについての方程式に直す.
  3. yについて解く.
  4. y=2^xから, x=\log_2{y}として解を求める.

今回の場合, y=2^xとおくと, 方程式は

\begin{eqnarray*} 2y^2-9y+4&=&0\\ (2y-1)(y-4)&=&0 \end{eqnarray*}

となり, \displaystyle y=\frac{1}{2}, 4.

xに戻すと, \displaystyle 2^x=\frac{1}{2}, 4より, x=-1, 2となります.

指数不等式

指数不等式は,

\begin{equation*} 2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4\geqq 0 \end{equation*}

のように, 不等式の指数部分に変数xが含まれるものをいいます.

この場合も指数方程式の場合と同じように, y=2^xとおいて解きます.

但し, 次のことだけ注意が必要です.

(1) a>1のとき,     a^\alpha>b^\beta\Longleftrightarrow \alpha>\beta

(2) 0<a<1のとき, a^\alpha>b^\beta\Longleftrightarrow \alpha<\beta

底の部分が1より小さい場合は不等号の向きが逆になります.

上の例では, 左辺は指数方程式の例と同じなので, 因数分解して不等式を解くと,

\begin{eqnarray*} (2y-1)(y-4)\geqq 0\\ y\leqq \frac{1}{2},\,4\leqq y\\ \therefore 2^x\leqq\frac{1}{2}=2^{-1},\, 2^2=4\leqq 2^x \end{eqnarray*}

((底)=2>1なので),

\begin{equation*} x\leqq -1, 2\leqq x \end{equation*}

となります.

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