区分求積法を利用する問題(自作問題3)

この記事の所要時間: 457

問題.

今回は自作問題の3, 区分求積法を利用する問題です.

問題. 

mを自然数とする. 以下の問いに答えよ.

(1) \displaystyle \int_{0}^{1} x^mdxを計算せよ.

(2) 自然数nに対して, \displaystyle Sn=\sum^n_{k=1} k^mとおくとき, 全てのnに対して\displaystyle S_n=\sum^{m+1}_{i=1} a_{(m,i)}\cdot n^iが成り立つような実数a_{(m,i)}\ (i=1,2,\ldots,m+1)が存在することが分かっている. このとき\displaystyle a_{(m,m+1)}=\frac{1}{m+1}を区分求積法を用いて示せ.

(1) は一応(2)への誘導となっています.

(2) は分かりにくいかもしれませんが, Faulhaberの公式(べき乗和の公式)のことを言っています.

\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k &=& \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n\\ \sum_{k=1}^n k^2 &=& \frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n\\ \sum_{k=1}^n k^3 &=& \frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2 \end{eqnarray*}

k^mの和の公式の右辺のn^iの係数がa_{(m, i)}なので, 例えば上に挙げた例では

a_{(1, 1)}=\dfrac{1}{2}\quad a_{(1, 2)}=\dfrac{1}{2}

a_{(2, 1)}=\dfrac{1}{6}\quad a_{(2, 2)}=\dfrac{1}{2}\quad a_{(2, 3)}=\dfrac{1}{3}

a_{(3, 1)}=0\quad a_{(3, 2)}=\dfrac{1}{4}\quad a_{(3, 3)}=\dfrac{1}{2}\quad a_{(3, 4)}=\dfrac{1}{4}

となります. このときに, a_{(m, m+1)}=\dfrac{1}{m+1}は確かに成り立っています.

また, 区分求積法は, 次の公式です.

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx \end{equation*}

解答例.

(1) 普通に定積分を計算します.

\begin{eqnarray*} \int_0^1 x^m dx &=& \Big[\frac{1}{m+1}x^{m+1}\Big]_0^1\\ &=& \frac{1}{m+1} \end{eqnarray*}

(2)

\begin{equation*} S_n = \sum_{k=1}^{n} k^m = \sum_{i=1}^{m+1} a_{(m, i)}\cdot n^i \end{equation*}

なので, 区分求積法を考えて,

\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} x^m dx &=& \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^m\\ &=& \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{m+1}\sum_{k=1}^{n} k^m\\ &=& \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{m+1}\sum_{i=1}^{m+1}a_{(m, i)}\cdot n^i\\ &=& \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{m+1} a_{(m, i)}\cdot n^{i-m-1} \end{eqnarray*}

ここで,

1\leqq i\leqq mのときi-m-1\leqq -1より, \displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{i-m-1}=0

i=m+1のときi-m-1=0より, \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{i-m-1}=1.

なので,

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{m+1} a_{(m, i)}\cdot n^{i-m-1} = a_{(m, m+1)} \end{equation*}

故に,

\begin{equation*} \int_{0}^{1} x^m dx = a_{(m, m+1)} \end{equation*}

従って, \displaystyle a_{(m, m+1)}=\frac{1}{m+1}.

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