極限の計算(自作問題1-(13))

この記事の所要時間: 535

問題.

今回は自作問題集1-(13), 極限の計算の問題です.

問題. 

次の極限を求めよ. 但し, y=\sin{x}\left(-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)の逆関数を\sin^{-1}{x}とする.

\begin{equation*} \lim_{a\to+0} \dfrac{1}{a}\sin^{-1}\left(\dfrac{1-\cos{a}}{a}\right) \end{equation*}

三角関数の逆関数を含む極限の問題ですが, \sin^{-1}{x}の性質を知らなくても解ける問題です.

但し,

\begin{equation*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin^{-1}{x}}{x}=1 \end{equation*}

を使って, そのまま解くこともできるので, そちらは追記に別解として載せておきます.

ちなみにこの式は

\begin{equation*} \lim_{y\to 0}\frac{y}{\sin{y}}=1 \end{equation*}

においてx=\sin{y}とおいたものです.

解答例.

\displaystyle t=\sin^{-1}\left(\dfrac{1-\cos{a}}{a}\right)とおくと, \sin{t}=\dfrac{1-\cos{a}}{a}. このとき,

\begin{equation*} \frac{1-\cos{a}}{a\sin{t}} = 1 \end{equation*}


であるから,

\begin{eqnarray*} \lim_{a\to+0} \frac{1}{a}\sin^{-1}\left(\frac{1-\cos{a}}{a}\right) &=& \lim_{a\to+0} \frac{t}{a}\\ &=& \lim_{a\to+0}\frac{t}{a}\cdot \frac{1-\cos{a}}{a\sin{t}}\\ &=& \lim_{a\to+0}\frac{1-\cos{a}}{a^2}\cdot\frac{t}{\sin{t}} \end{eqnarray*}


ここで,

\begin{eqnarray*} \lim_{a\to+0} \frac{1-\cos{a}}{a^2} &=& \lim_{a\to+0} \frac{1-\cos{a}}{a^2}\cdot\frac{1+\cos{a}}{1+\cos{a}}\\ &=& \lim_{a\to+0} \frac{1-\cos^2{a}}{a^2(1+\cos{a})}\\ &=& \lim_{a\to+0} \frac{\sin^2{a}}{a^2(1+\cos{a})}\\ &=& \lim_{a\to+0} \left(\frac{\sin{a}}{a}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos{a}}\\ &=& 1^2\cdot\frac{1}{1+1}\\ &=&\frac{1}{2} \end{eqnarray*}


また, a\to+0のとき\sin{t}=\dfrac{1-\cos{a}}{a^2}\cdot a\to +0より, t\to+0なので,

\begin{eqnarray*} \lim_{a\to+0} \frac{t}{\sin{t}} &=& \lim_{t\to+0} \frac{t}{\sin{t}}\\ &=& 1 \end{eqnarray*}


よって,

\begin{eqnarray*} \lim_{a\to+0} \frac{1}{a}\sin^{-1}\left(\frac{1-\cos{a}}{a}\right) &=& \frac{1}{2}\cdot 1\\ &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray*}

追記. (別解)

a\to +0のとき,

\begin{eqnarray*} \frac{1-\cos{a}}{a} &=& \frac{(1-\cos{a})(1+\cos{a})}{a(1+\cos{a})}\\ &=& \frac{\sin^2{a}}{a(1+\cos{a})}\\ &=& \frac{\sin{a}}{a}\cdot \frac{\sin{a}}{1+\cos{a}}\\ &\to& +0 \end{eqnarray*}

となる. そこで,

\begin{equation*} b = \frac{1-\cos{a}}{a} = \frac{\sin^2{a}}{a(1+\cos{a})} \end{equation*}

とおくと, a\to +0のときb\to +0.

よって,

\begin{eqnarray*} \lim_{a\to+0}\frac{1}{a}\sin^{-1}\left(\frac{1-\cos{a}}{a}\right) &=& \lim_{a\to+0} \frac{1}{a}\sin^{-1}{b}\\ &=& \lim_{a\to+0} \frac{\sin^{-1}{b}}{b}\cdot \frac{b}{a}\\ &=& \lim_{a\to+0} \frac{\sin^{-1}{b}}{b}\cdot \left(\frac{\sin{a}}{a}\right)^2\frac{1}{1+\cos{a}}\\ &=& 1\cdot 1^2\cdot \frac{1}{2}\\ &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray*}

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