数列の極限

この記事の所要時間: 448

数列の極限

数列の極限の例はこちら.

定義

数列\{a_n\}について, nを限りなく大きくするとき,

(i) a_nが一定の値\alphaに限りなく近づくとき(*), \{a_n\}\alpha収束するといい,

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha \end{equation*}

または,

n\to\infty のときa_n\to\alpha

と書く. また, \alphaを数列\{a_n\}極限(値)という.

(ii) a_nが限りなく大きくなるとき(**), \{a_n\}\infty(正の無限大)に発散するといい, 

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}a_n=\infty \end{equation*}

または

n\to\infty のときa_n\to\infty

と書く.

(iii) 数列\{-a_n\}\inftyに発散するとき, \{a_n\}-\infty(負の無限大)に発散するといい,

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty \end{equation*}

または

n\to\infty のときa_n\to-\infty

と書く.

(iv) \{a_n\}が収束せず, \infty, -\inftyに発散もしない場合, \{a_n\}振動するという.

注意

(*). 厳密には, 「どんな正の数\varepsilonに対してもある自然数Nが存在して, n\geqq N\Rightarrow |a_n-\alpha|<\varepsilonが成り立つ」とき.

(**). 厳密には, 「どんな正の数kに対してもある自然数Nが存在して, n\geqq N\Rightarrow a_n>kが成り立つ」とき.

例.

k>0のとき,

\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}n^k&=&\infty\\ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}&=&0 \end{eqnarray*}

数列の極限の性質

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, \lim_{n\to\infty}b_n=\beta\,(収束)とするとき,

(i) \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\alpha\pm\beta

(ii) \displaystyle\lim_{n\to\infty} (ka_n)=k\alpha, (k:定数)

(iii) \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=\alpha\beta

(iv) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=\dfrac{\beta}{\alpha}, (a_n\neq 0, \alpha\neq 0)

また, \displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\pm\inftyのとき,

(v) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{c_n}=0

注意.

上の(v)のように, (定数)/\infty=0 や, (正の定数)/0=\infty, (定数)+\infty=\infty  などが成り立ちますが, \infty /\infty0/0, 0\times\infty, \infty -\infty のような形式の極限は一般に「不定形」と呼ばれ, その値は場合によって異なります.

(\inftyは数を表す記号ではないので, \infty+\inftyのような式を書いてはいけません. ここでは説明のために形式的にそのような表記をしています. )

また, 非常によく使う定理として, 以下のはさみうちの原理があります.

数列\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}について,

(i) a_n\leqq b_nのとき, \displaystyle\lim_{n\to\infty}=\alpha, \lim_{n\to\infty}b_n=\beta(収束)とすると, \alpha\leqq\beta

(ii) a_n\leqq b_nのとき, \displaystyle\lim_{n\to\infty}=\infty(発散)とすると, \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\infty

(iii) a_n\leqq c_n\leqq b_nのとき, \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha(収束)とすると, \displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha

スポンサーリンク
sub2
sub2
  • このエントリーをはてなブックマークに追加