図形と整数問題(自作問題4)

この記事の所要時間: 723

問題.

今回は自作問題の4, 図形と整数問題です.

問題.

円に内接する四角形ABCDがあり, 辺BCと辺CDの長さは等しい. 辺及び対角線の長さをAB=\alpha, BC=CD=\beta, DA=\gamma, AC=\deltaとおき, 四角形ABCDの外接円, \triangle{ABC}の内接円及び\triangle{ACD}の内接円の半径をそれぞれR, r_1, r_2とおくとき, 以下の条件(*)が成り立つ. \alpha, \beta, \gamma, \deltaの値をそれをれ求めよ.

\begin{equation*} (*):\left\{\begin{array}{lll} \alpha, \beta, \gamma, \delta\,\,\text{are all integer, and each two of these are relatively prime.}\\ R:r_1:r_2=14:3:6\\ \angle{ADC}=60^\circ \nonumber \end{array} \right. \end{equation*}

条件の一つ目は, 日本語にすると,

\alpha, \beta, \gamma, \delta\,は全て整数で, どの2つをとっても互いに素」

です (数式中に日本語が入りませんでした).

図形の性質から, 正弦定理, (第2)余弦定理などを使って\alpha, \beta, \gamma, \deltaについての方程式を求め, 整数問題として解いていく問題です.

正弦定理

\triangle{ABC}の外接円の半径をRとすると,

\begin{equation*} \dfrac{a}{\sin{A}} = \dfrac{b}{\sin{B}}=\dfrac{c}{\sin{C}}=2R \end{equation*}

余弦定理

\triangle{ABC}において,

\begin{eqnarray*} a^2 &=& b^2+c^2-2bc\cos{A}\\ b^2 &=& c^2+a^2-2ca\cos{B}\\ c^2 &=& a^2+b^2-2ab\cos{C} \end{eqnarray*}

解答.

(1) \begin{equation*} \end{equation*}

(2) \begin{equation*} \end{equation*}


\triangle{ACD}において正弦定理より,

\begin{equation*} R = \frac{1}{2}\cdot\frac{\delta}{\sin{60^\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\delta \end{equation*}


\triangle{ACD}の面積について,

\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot\beta\cdot\gamma\cdot\sin{60^\circ}&=&\frac{1}{2}\cdot r_2\cdot(\beta+\gamma+\delta)\\ \therefore r_1 &=& \frac{\beta\gamma}{\beta+\gamma+\delta}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}


四角形ABCDが円に内接するので, \angle{ABC}=180^\circ-\angle{ADC}=120^\circとなるから, \triangle{ABC}の面積について,

\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot \alpha\cdot\beta\cdot\sin{120^\circ} &=& \frac{1}{2}\cdot r_1\cdot (\alpha+\beta+\delta)\\ \therefore r_1 &=& \frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+\delta}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}


2番目の条件より,

\begin{equation*} \frac{\sqrt{3}}{3}\delta : \frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+\delta}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{\beta\gamma}{\beta+\gamma+\delta}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 14 : 3 : 6 \end{equation*}


\begin{equation*} \therefore \left\{ \begin{array}{ll} \delta(\alpha+\beta+\delta)=7\alpha\beta\quad\cdots(1)\\ 2\delta(\beta+\gamma+\delta)=7\beta\gamma\quad\cdots(2) \end{array} \right. \end{equation*}


\triangle{ABC}において, 余弦定理より

(3) \begin{equation*} \delta^2 = \alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\cos{120^\circ}=\alpha^2+\beta^2+\alpha\beta \end{equation*}


\triangle{ACD}において, 余弦定理より

(4) \begin{equation*} \delta^2=\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\cos{60^\circ}=\beta^2+\gamma^2-\beta\gamma \end{equation*}


(3)-(4)より,

\begin{eqnarray*} 0 = \alpha^2-\gamma^2+\beta(\alpha+\gamma)\\ \therefore (\alpha+\gamma)(\alpha-\gamma+\beta)= 0 \end{eqnarray*}


\alpha+\gamma>0なので, \alpha-\gamma+\beta=0となり, \gamma = \alpha + \beta.
(2)に代入して,

(5) \begin{equation*} 2\delta(\alpha+2\beta+\delta)=7\beta(\alpha+\beta) \end{equation*}


(5)-(1)\times 2より,

\begin{equation*} 2\beta\delta = 7\beta(-\alpha+\beta) \end{equation*}


\beta\neq 0なので両辺を\betaで割って,

\begin{equation*} 2\delta = 7(-\alpha+\beta) \end{equation*}


\deltaは7の倍数となるので, \delta=7k(k:自然数)とおくと, -\alpha+\beta=2kより, \beta = \alpha+2k
(1)に代入して,

\begin{eqnarray*} 7k(2\alpha+9k) &=& 7\alpha(\alpha+2k)\\ \alpha^2&=&9k^2 \end{eqnarray*}


\alpha>0, k>0なので, \alpha = 3k. また, \beta=3k+2k=5k, \gamma=\alpha+\beta=8k.
ここで1つ目の条件から\alpha, \beta, \gamma, \deltaは互いに素なので, k=1となる.
従って, \alpha=3, \beta=5, \gamma=8, \delta=7.

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