数列の極限の例

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数列の極限の例

数列の極限の定義と, その性質(はさみうちの原理など)を紹介した記事はこちら.

—>数列の極限

この記事では, 数列の極限の実際の例を見ていきます.

基本となる極限

(1) nの累乗

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} n^k=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty &(k>0)\\ 1&(k = 0)\\ 0 & (k < 0) \end{array}\right. \end{equation*}

(2) 実数のn

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}r^n =\left\{ \begin{array}{ll}{ +\infty & (r > 1)\\ 1 & (r = 1)\\ 0 & (-1<r<1) \end{array}\right. \end{equation*}

r\leqq -1のときは振動する.

不定形の極限.

(1) (\infty/\infty)

\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n+1}{2n^2-3n+1}&=&\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}\\ &=&\frac{1}{2} \end{eqnarray*}

(2) (\infty/\infty)

\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+7}{3n-5} &=& \lim_{n\to\infty}\frac{n+\frac{7}{n}}{3-\frac{5}{n}}\\ &=& \infty \end{eqnarray*}

(3) (\infty-\infty)

\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (n^2-n) &=& \lim_{n\to\infty} n(n-1)\\ &=& \infty \end{eqnarray*}

(4) (\infty-\infty)

\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+9n}-n) &=& \lim_{n\to\infty}\frac{(n^2+9n)-n^2}{\sqrt{n^2+9n}+n}\\ &=& \lim_{n\to\infty} \frac{9}{\sqrt{1+\frac{9}{n}}+1}\\ &=& \frac{9}{2} \end{eqnarray*}

(5)

\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{5^n+2^n}{5^n-2^n}&=&\lim_{n\to\infty}\frac{1+\left(\frac{2}{5}\right)^n}{1-\left(\frac{2}{5}\right)^n}\\ &=& 1 \end{eqnarray*}

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