無限級数

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無限級数

定義

数列\{a_n\}に対して,

\begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{equation*}

無限級数という.

数列のn項目までの和

\begin{equation*} S_n = \sum_{k=1}^n a_n \end{equation*}

について, \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_nSに収束するとき, 無限級数はSに収束し,

\begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty a_k = S \end{equation*}

と表す. \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_nが発散するとき, 無限級数は発散する.

無限級数に関する定理

2つの無限級数\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_n, \sum_{k=1}^\infty b_nがそれぞれA, Bに収束するとき,

(1). \displaystyle \sum_{k=1}^\infty ca_n = cA, (c:定数)

(2). \displaystyle \sum_{k=1}^\infty (a_n\pm b_n)=A\pm B

無限等比級数

初項a, 公比rの無限等比級数

\begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty ra^{n-1} = a + ar + ar^2+\cdots \end{equation*}

(1) |r|<1のとき収束し, 和はS=\dfrac{a}{1-r}

(2) |r|\geqq 1のとき発散する

(証明).

等比数列のn項目までの和は

\begin{eqnarray*} S_n &=& a+ar+\cdots+ar^{n-1}\\ &=& a\frac{1-r^n}{1-r} \end{eqnarray*}

なので|r|<1のとき\dfrac{1}{1-r}に収束する.

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