確率とコンビネーションの計算(自作問題14)

この記事の所要時間: 355

問題.

自作問題集の14, 確率とコンビネーションの計算の問題です.

問題.

n個の赤玉とn個の白玉が入った袋からn個の玉を同時に取り出すとき, 赤玉がk(0\leqq k\leqq n)含まれる確率をp_kとするとき, \displaystyle\sum_{k=1}^n p_k, \displaystyle\sum_{k=1}^n k^2p_kをそれぞれ求めよ.

解答例.

2n個からn個を取り出す方法が{}_{2n}C_n通り. 赤玉k個のとき, 白玉はn-k個取り出すことになるので, その場合の取り出し方は{}_nC_k\cdot{}_nC_{n-k}=({}_nC_k)^2通り. 故に,

\begin{equation*} p_k = \frac{({}_nC_k)^2}{{}_{2n}C_n} \end{equation*}


(確率の定義により, )

(1) \begin{equation*} \sum_{k=0}^n p_k = 1 \end{equation*}


であるから,

\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n p_k &=& 1-p_0\\ &=& 1-\frac{1}{{}_{2n}C_n} \end{eqnarray*}


また, 式(1)より,

\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac{({}_nC_k)^2}{{}_{2n}C_n}&=&1\\ \therefore \sum_{k=0}^n ({}_nC_k)^2 &=& {}_{2n}C_n \end{eqnarray*}

n\geqq 2, k\geqq 1のとき

\begin{eqnarray*} k\cdot {}_nC_k &=& k\cdot\frac{n!}{k!(n-k)!}\\ &=& n\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\\ &=& n\cdot{}_{n-1}C_{k-1} \end{eqnarray*}


なので, n\geqq 2のとき

\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^2p_k &=& \frac{1}{{}_{2n}C_n}\sum_{k=1}^n (k\cdot {}_nC_k)^2\\ &=& \frac{1}{{}_{2n}C_n}\sum_{k=1}^n(n\cdot{}_{n-1}C_{k-1})^2\\ &=& \frac{n^2}{{}_{2n}C_n}\sum_{k=1}^n ({}_{n-1}C_{k-1})^2\\ &=&\frac{n^2}{{}_{2n}C_n}\sum_{k=0}^{n-1}({}_{n-1}C_k)^2\\ &=& \frac{n^2}{{}_{2n}C_n}\cdot{}_{2(n-1)}C_{n-1}\\ &=& n^2\cdot\frac{(n!)^2}{(2n)!}\cdot\frac{(2(n-1))!}{((n-1)!)^2}\\ &=& \frac{n^4}{2n(2n-1)}\\ &=& \frac{n^3}{2(2n-1)} \end{eqnarray*}


これはn=1のときも成り立つ.
よって,

\begin{equation*} \sum_{k=1}^n k^2p_k = \frac{n^3}{2(2n-1)} \end{equation*}

追記.

この問題では, 後半部分で必要なコンビネーションの2乗和

\begin{equation*} \sum_{k=0}^n ({}_nC_k)^2 = {}_{2n}C_n \end{equation*}

を知らなくても, 前半部分で導かれることに気付けるかどうか, がカギになっています. いい問題ですね.

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