確率とコンビネーションの計算(自作問題14)

この記事の所要時間: 347

問題.

自作問題集の14, 確率とコンビネーションの計算の問題です.

問題.

\(n\) 個の赤玉と \(n\) 個の白玉が入った袋から \(n\) 個の玉を同時に取り出すとき, 赤玉が \(k\) 個 \((0\leqq k\leqq n)\) 含まれる確率を \(p_k\) とするとき, \(\displaystyle\sum_{k=1}^n p_k\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2p_k\) をそれぞれ求めよ.

解答例.

\(2n\) 個から \(n\) 個を取り出す方法が \({}_{2n}C_n\) 通り. 赤玉 \(k\) 個のとき, 白玉は \(n-k\) 個取り出すことになるので, その場合の取り出し方は \({}_nC_k\cdot{}_nC_{n-k}=({}_nC_k)^2\) 通り. 故に,
\begin{align*}
p_k = \frac{({}_nC_k)^2}{{}_{2n}C_n}
\end{align*}
(確率の定義により, )
\begin{align}
\sum_{k=0}^n p_k = 1 \tag{1}
\end{align}
であるから,
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n p_k &= 1-p_0\\
&= 1-\frac{1}{{}_{2n}C_n}
\end{align*}
また, 式(1)より,
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n \frac{({}_nC_k)^2}{{}_{2n}C_n}&= 1\\
\therefore \sum_{k=0}^n ({}_nC_k)^2 &= {}_{2n}C_n
\end{align*}

\(n\geqq 2, k\geqq 1\) のとき
\begin{align*}
k\cdot {}_nC_k &= k\cdot\frac{n!}{k!(n-k)!}\\
&= n\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\\
&= n\cdot{}_{n-1}C_{k-1}
\end{align*}
なので, \(n\geqq 2\) のとき
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n k^2p_k &= \frac{1}{{}_{2n}C_n}\sum_{k=1}^n (k\cdot {}_nC_k)^2\\
&= \frac{1}{{}_{2n}C_n}\sum_{k=1}^n(n\cdot{}_{n-1}C_{k-1})^2\\
&= \frac{n^2}{{}_{2n}C_n}\sum_{k=1}^n ({}_{n-1}C_{k-1})^2\\
&=\frac{n^2}{{}_{2n}C_n}\sum_{k=0}^{n-1}({}_{n-1}C_k)^2\\
&= \frac{n^2}{{}_{2n}C_n}\cdot{}_{2(n-1)}C_{n-1}\\
&= n^2\cdot\frac{(n!)^2}{(2n)!}\cdot\frac{(2(n-1))!}{((n-1)!)^2}\\
&= \frac{n^4}{2n(2n-1)}\\
&= \frac{n^3}{2(2n-1)}
\end{align*}
これは \(n=1\) のときも成り立つ.
よって,
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n k^2p_k = \frac{n^3}{2(2n-1)}
\end{align*}

追記.

この問題では, 後半部分で必要なコンビネーションの2乗和

\begin{align*}
\sum_{k=0}^n ({}_nC_k)^2 = {}_{2n}C_n
\end{align*}

を知らなくても, 前半部分で導かれることに気付けるかどうか, がカギになっています. いい問題ですね.

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