無限級数の問題例

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無限級数の問題例

無限級数

\begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty a_n \end{equation*}

が収束する値を求める問題の例を紹介します.

1. 無限等比級数

数列a_nが初項a\neq 0, 公比rの等比数列の場合,

1 . |r|<1のとき収束し,

\begin{equation*}\sum_{k=1}^n ar^{k-1}=\dfrac{a}{1-r} \end{equation*}

2 . |r|\geqq 1のとき発散する.

(r\leqq -1のときは振動,

初項a>0r\geqq 1なら\inftyに発散,

a<0r\geqq 1なら-\inftyに発散)

例1.

初項2, 公比-\dfrac{1}{2}の無限等比級数の場合, 収束して,

\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty 2\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^k &=& \dfrac{2}{1-(-\frac{1}{2})}\\ &=& \dfrac{4}{3} \end{eqnarray*}

例2.

初項3, 公比2の無限等比級数の場合, (公比)\geqq 1より発散

\begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty 3\cdot2^{k-1} = \infty \end{equation*}

例3. 循環小数

循環小数

x=0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123123\cdots

は,

\begin{eqnarray*} x &=& \frac{123}{1000}+\frac{123}{1000^2}+\frac{123}{1000^3}\cdots\\ &=& \frac{123}{1000}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{1000}}\\ &=& \frac{123}{999}\\ &=& \frac{41}{333} \end{eqnarray*}

2. 等差数列と等比数列の積

初項a, 公差dの等差数列\{a_n\}

初項b, 公比rの等比数列\{b_n\} の積

\begin{eqnarray*} c_n&=&a_nb_n\\ &=&(a+(n-1)d)\cdot br^{n-1} \end{eqnarray*}

について,

\begin{equation*} S_n = \sum_{k=1}^n c_k \end{equation*}

とおくと,

(1) \begin{eqnarray*} S_n &=& ab + (a+d)br +  \cdots + (a+(n-1)d)br^{n-1}\\ rS_n &=&      abr + \cdots + (a+(n-2)d)br^{n-1} +(a+(n-1)d)br^n \end{eqnarray*}

(1)-(2)をして

\begin{eqnarray*} (1-r)S_n &=& ab + dbr + \cdots+dbr^{n-1}-(a+(n-1)d)br^n\\ &=& ab+dbr\dfrac{1-r^{n-1}}{1-r}-(a+(n-1)d)br^n \end{eqnarray*}

となるので, |r|<1のときS_nは収束します.

下の具体的な例を見た方が分かりやすいです.

例4.

\begin{equation*} S = 1 + \frac{2}{5} + \frac{3}{25} + \frac{4}{125}+\cdots \end{equation*}

とするとき,

\begin{equation*} \frac{1}{5}S = \frac{1}{5} + \frac{2}{25} + \frac{3}{125} + \cdots \end{equation*}

を元のSの式から引いて,

\begin{eqnarray*} \frac{4}{5}S &=& 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25}+ \frac{1}{125} + \cdots\\ &=& \frac{1}{1-\frac{1}{5}}\\ &=& \frac{5}{4} \end{eqnarray*}

よって,

\begin{equation*} S = \frac{25}{16} \end{equation*}

3. 部分分数分解できる場合

各項a_nを部分分数分解することで, n項目までの和S_nを求めることができる場合がある.

例5.

\begin{eqnarray*} S_n &=& \sum_{k=1}^n \frac{1}{4k^2-1}\\ &=& \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\\ &=& \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\\ &\to& \frac{1}{2}\quad(n\to\infty) \end{eqnarray*}

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