円周率πが無理数であることの証明

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円周率πが無理数であることの証明

円周率(円の周の長さと直径の比)が無理数である, つまり (整数)/(整数) と分数の形で表せないことはよく知られています.

$\sqrt{2}$ や, $\log_{10}{2}$ が無理数であることの証明は高校でもならいますが, 円周率 $\pi=3.141592\ldots$ や, 自然対数の底 $e=2.718\ldots$ が無理数であることは事実として教えられるだけです.

そこで, 今回は円周率 $\pi$ の証明の一つ(Nivenの方法)を紹介します.

円周率 $\pi$ が有理数であると仮定して, 背理法を用います.

矛盾が生じるまでが長いので, 不安になるかもしれませんが, 正しく証明できています.

Niven の方法によるπが無理数である証明

証明の手順

$\pi$ を有理数と仮定し, $\pi=\dfrac{a}{b}$ とおく.
$f_n(x)=\dfrac{1}{n!}x^n(a-bx)^n$ , $\displaystyle F_n(x)=\sum_{i=0}^n (-1)^if_n^{(2i)}(x)$ とおく.
すべての自然数 $n$ について, $F_n(\pi)=F_n(0)=($ 整数 $)$ となることを示す.
$\displaystyle \int_0^{\pi} f_n(x)\sin{x}\,dx=2F_n(0)$ を示す.
矛盾を導く.

注意. ) 2.の $f_n^{(2i)}(x)$ は $f_n(x)$ を $x$ で $2i$ 回微分した, $2i$ 階導関数です.

証明.

上の手順に示したように $a, b, f_n(x), F_n(x)$ を定めた上で, 手順の3. 4. を示していきます.

3. $\pi=\dfrac{a}{b}$ より, $a=\pi b$ であることを用いて,

$\begin{eqnarray*} f_n(\pi-x) &=& \dfrac{1}{n!}(\pi-x)^n(a-b(\pi-x))^n\\ &=&\dfrac{1}{n!}(\pi-x)^n(a-b\pi+bx)^n\\ &=& \dfrac{1}{n!}(\pi-x)^n (bx)^n\\ &=& \dfrac{1}{n!}(b(\pi-x))^nx^n\\ &=& \dfrac{1}{n!}(a-bx)^nx^n\\ &=& f_n(x) \end{eqnarray*}$

この両辺を $x$ で $2i$ 回微分すると,

$\begin{eqnarray*} (-1)^{2i}f_n^{(2i)}(\pi-x) &=& f_n^{(2i)}(x)\\ \therefore f_n^{(2i)}(\pi-x) &=& f_n^{(2i)}(x) \end{eqnarray*}$

よって,

$\begin{eqnarray*} F_n(\pi-x) &=& \sum_{i=0}^n (-1)^if_n^{(2i)}(\pi-x)\\ &=& \sum_{i=0}^n (-1)^if_n^{(2i)}(x)\\ &=& F_n(x) \end{eqnarray*}$

となるので, $x=0$ の場合を考えれば, $F_n(\pi)=F_n(0)$ .

次に, $f_n(x)$ 中の $(a-bx)^n$ を2項展開すると,

$\begin{equation*} f_n(x) = \dfrac{1}{n!}\sum_{j=0}^n {}_nC_j\cdot a^j(-b)^{n-j}x^{2n-j} \end{equation*}$

$0\leqq i<\dfrac{n}{2}$ のとき, $f_n^{(2i)}(x)$ は $x$ の1次以上の項の和なので, $f_n^{(2i)}(0)=0$

$\dfrac{n}{2}\leqq i\leqq n$ のとき, $f_n^{(2i)}(0)$ は $f_n^{(2i)}(x)$ の定数項に等しく,

$f_n^{(2i)}(0) = \dfrac{(2i)!}{n!}{}_nC_{2(n-i)}\cdot a^{2(n-i)} (-b)^{-n+2i}$

となりますが, これは整数です.

よって, $F_n(0)$ は整数同士の足し算, 引き算の結果整数となります.

$f_n(x)$ は $x$ の $2n$ 次多項式なので, $F_n^{(2n+2)}(x)=0$ となることを用いて,

$\begin{eqnarray*} F_n^{\prime\prime}(x)+F_n(x) &=& \sum_{i=0}^n (-1)^if_n^{(2i+2)}(x)+\sum_{i=0}^n(-1)^if_n^{(2i)}(x)\\ &=& \sum_{i=0}^{n-1}(-1)^if_n^{(2i+2)}(x)+\sum_{i=0}^n(-1)^if_n^{(2i)}(x)\\ &=& -\sum_{i=1}^n (-1)^if_n^{(2i)}(x)+\sum_{i=0}^n(-1)^if_n^{(2i)}(x)\\ &=& f_n(x) \end{eqnarray*}$

よって,

$\begin{eqnarray*} f_n(x)\sin{x} &=& F_n^{\prime\prime}(x)\sin{x}+F_n(x)\sin{x}\\ &=& (F_n^{\prime\prime}(x)\sin{x}+F_n^\prime(x)\cos{x})-(F_n^\prime(x)\cos{x}-F_n(x)\sin{x})\\ &=& (F_n(x)\sin{x}-F_n(x)\cos{x})^\prime \end{eqnarray*}$

となるので,

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi f_n(x)\sin{x}\,dx &=& \Big[F_n^\prime(x)\sin{x}-F_n(x)\cos{x}\Big]_0^\pi\\ &=& F_n(\pi)+F_n(0)\\ &=& 2F_n(0) \end{eqnarray*}$

$0<x<\pi$ のとき, 常に $f_n(x)\sin{x}>0$ であるから, $\displaystyle\int_0^\pi f_n(x)\sin{x}\,dx>0$ . よって, 4. の結果から, $F_n(0)>0$ .

ここで,

$\begin{eqnarray*} x(\pi-x) &=& -\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\\ &\leqq& \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

なので,

$\begin{eqnarray*} f_n(x) &=& \frac{1}{n!}x^nb^n(\pi-x)^n\\ &\leqq& \frac{b^n}{n!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_n(0) &=& \frac{1}{2}\int_0^\pi f_n(x)\sin{x}\,dx\\ &\leqq& \frac{1}{2}\int_0^\pi \frac{b^n}{n!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2n}\sin{x}\,dx\\ &\leqq& \frac{1}{2}\int_0^\pi \frac{b^n}{n!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2n}\,dx\\ &=& \frac{b^n}{n!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2n+1}\\ &\to& 0\quad (n\to\infty) \end{eqnarray*}$

これは, 十分大きな $n$ に対して $0<F_n(0)<1$ となることを表しているので, $F_n(0)$ がすべての $n$ について整数であることに矛盾する.

従って, $\pi$ が有理数だという仮定が誤り, つまり $\pi$ は無理数.

円周率πが無理数であることの証明

円周率πが無理数であることの証明

Niven の方法によるπが無理数である証明

証明の手順

証明.

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