整数の問題(自作問題2)

この記事の所要時間: 337

問題.

自作問題集の2番, 整数の問題です.

問題. 

n^2+22n+1の倍数となるような自然数nを全て求めよ.

与えられた条件から, 自然数nについての条件を狭めていきます.

下の解答例以外にも解き方はあるかもしれません.

解答例.

n^2+22n+1の倍数のとき, n^2+2=k(2n+1), (kは自然数)とおける.

(1) \begin{equation*} n^2-2kn+2-k=0 \end{equation*}

nについて解いて,

\begin{eqnarray*} n &=& k\pm \sqrt{k^2-(2-k)}\\ &=& k\pm\sqrt{k^2+k-2} \end{eqnarray*}

n, kは自然数より\sqrt{k^2+k-2}も整数なので, \sqrt{k^2+k-2}=m(m:非負整数)とおくと,

(2) \begin{equation*} k^2+k-(2+m^2) = 0 \end{equation*}

これをkについて解いて,

\begin{eqnarray*} k &=& \frac{1}{2}\{-1\pm\sqrt{1+4(2+m^2)}\}\\ &=& \frac{1}{2}\{-1\pm\sqrt{4m^2+9}\} \end{eqnarray*}

\begin{equation*} \therefore 2k = -1\pm\sqrt{4m^2+9} \end{equation*}

kが自然数より, \sqrt{4m^2+9}は整数で, \sqrt{4m^2+9}=l(l:非負整数)とおくと,

\begin{eqnarray*} 4m^2+9&=&l^2\\ l^2-4m^2&=&9\\ (l+2m)(l-2m)&=&9 \end{eqnarray*}

l, m:非負整数より, l\pm 2mは整数で, l+2m\geqq 0, l+2m\geqq l-2m.

よって, (l+2m, l-2m)=(9, 1), (3, 3)より(l, m)=(5, 2), (3, 0).

(l, m)=(5, 2)のとき

(2)より

\begin{eqnarray*} k^2+k-6&=&0\\ (k+3)(k-2) &=& 0 \end{eqnarray*}

kは自然数よりk=2となり, (1)より

\begin{eqnarray*} n^2-4n&=&0\\ n(n-4) &=& 0 \end{eqnarray*}

nは自然数より, n=4.

(l, m)=(3, 0)のとき

(2)より

\begin{eqnarray*} k^2+k-2&=&0\\ (k+2)(k-1) &=& 0 \end{eqnarray*}

kは自然数よりk=1となり, (1)より

\begin{eqnarray*} n^2-2n+1&=&0\\ (n-1)^2 &=& 0 \end{eqnarray*}

nは自然数より, n=1.

以上より, n=1, 4.

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