関数の極限

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関数の極限

数列に極限があるように, 関数f(x)に対しても極限というものがあります.

数列\{a_n\}の極限はn\to\inftyの場合のみを考えましたが, 関数の場合は以下の種類があります.

  1. x\to\infty, およびx\to-\infty の極限
  2. x\to a  (aは定数) の極限
  3. 右側, 左側極限 (x\to a\pm0)

それぞれについて詳しく説明していきます.

1. x →∞, x→-∞ の極限

x\to\inftyの極限は, 数列の極限と同様に, xを限りなく大きくしたとき, 関数f(x)のとる値が\alphaに近づくとき,

\begin{equation*} \lim_{x\to\infty}f(x) = \alpha \end{equation*}

と書きます.

同じように考えて, xを限りなく小さくしたときf(x)の値が\alpha^\primeに近づくとき

\begin{equation*} \lim_{x\to -\infty}f(x)=\alpha^\prime \end{equation*}

と書きます.  (-\inftyは負の無限大と読みます. )

負の無限大の極限は, 関数f(-x)  (f(x)に含まれるx-xにしたもの)のx\to\inftyの極限と考えると分かりやすくなります. つまり,

\begin{equation*} \lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to\infty} f(-x) \end{equation*}

が成り立ちます.

例.

(1) f(x) = \frac{1}{x^2}

\displaystyle\lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{x^2} = \lim_{x\to-\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0

(2) f(x)=3^x

\displaystyle\lim_{x\to\infty} 3^x = \infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}3^x = 0

2. x→a の極限

xa (何らかの定数) に十分近づけるとき, f(x)の値が \alphaに近づくとき,

\begin{equation*} \lim_{x\to a} f(x) = \alpha \end{equation*}

と書きます.

基本的には,

\begin{equation*} \lim_{x\to a}f(x) = f(a) \end{equation*}

のようにf(x)x=aを代入したものと考えてかまいませんが, 以下のような例外もあります.

例外.

(1) f(x)x=aで定義されていないとき

(x2-9)(x-3)

例えば, f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}x=3のとき 分母がゼロになるので, 定義域がx\neq 3です. つまり, f(3)という値は存在しません.

さて, f(x)の分子を因数分解すると(x+3)(x-3)となり, 分母と約分でき,

\begin{equation*} f(x) = x+3\,(x\neq 3) \end{equation*}

と表すことができます. 極限の考え方は, あくまでxを3に近づけることなので,

\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 3}f(x)  &=& \lim_{x\to 3}(x+3) \\ &=& 6 \end{eqnarray*}

となります.

(右の図はy=\dfrac{x^2-9}{x-3}のグラフ. x=3では定義されていないので◦になっていますが, x=3に左右から近づくとf(x)の値は6に近づきます. )

(2)  これは(1)に似ていますが, 先ほどのf(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}において連続でなかったx=3で6でない別の値をf(x)が取る場合があります.

\begin{equation*} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{x^2-9}{x-3} & (x\neq 3)\\ 0 & (x = 3) \end{array}\right. \end{equation*}

という関数が与えられたとき, x\to 3の極限は, (1) と同じ6になり, f(3)=0にはなりません.

右側, 左側極限(x→a±0)

x\to aの極限について, xaに十分近づける, と説明しましたが, 近づけ方には二通りあります.

  1. x>aの方向から近づける
  2. x<aの方向から近づける

例えば, x\to 3の極限を考えるとき,

x=10からx=9, 8, \ldots, 4, 3.5, 3.1, \ldotsと近づけていく場合が1. にあたり,

x=0からx=1, 2, 2.1, \ldots, 2.5, 2.6, \ldotsと近づけていく場合が2. にあたります.

hurenzoku

右のように, x=aでグラフが途切れている場合(この場合a=0です), 1. の近づけ方と2. の近づけ方でf(x)の極限が異なります.

そこで, 1. の場合を右側極限といい, x\to a+0と表し, 同様に

2. の場合を左側極限といい, x\to a-0と表します.

特に, a=0のときはそれぞれx\to+0, x\to-0と書きます.

右側, 左側極限が一致しているとき, その値をx\to aでの極限といい,

\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a+0} f(x) = \lim_{x\to a-0}f(x)

となります.

上のグラフの例では,

\begin{eqnarray*} \lim_{x\to +0} f(x) &=& 2\\ \lim_{x\to -0} f(x) &=& 0 \end{eqnarray*}

で,

\begin{equation*} \lim_{x\to 0}f(x) \end{equation*}

は存在しません.

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