導関数の定義と例

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導関数の定義と例

導関数

関数 y=f(x) がある区間内の各点xで微分可能なとき, その微分係数 f^\prime(x)xの関数になります.

これを f^\prime(x), y^\prime, \dfrac{dy}{dx}などと書き, f(x)導関数といいます.

微分係数の定義から, 導関数は

\begin{equation*} f^\prime(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{equation*}

となります.

また, f(x)からf^\prime(x)を求めることを, f(x)x微分するといいます. 

導関数の計算例

(1) f(x)=xの導関数は

\begin{eqnarray*} f^\prime(x) &=& \lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h) - x}{h}\\ &=& \lim_{h\to 0}\dfrac{h}{h}\\ &=& \lim_{h\to 0} 1\\ &=& 1 \end{eqnarray*}

(2) g(x)=x^2の導関数は

\begin{eqnarray*} g^\prime(x) &=& \lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}\\ &=& \lim_{h\to 0}\dfrac{2xh+h^2}{h}\\ &=& \lim_{h\to 0} (2x+h)\\ &=& 2x \end{eqnarray*}

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