初等関数の導関数

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初等関数の導関数

今回は, 高校までで扱う基本的な関数の導関数を紹介します.

導関数の定義についてはこちら.

1.  定数関数 f(x)=c

(c) ^\prime = 0

2.  n次の単項式(nは自然数) f(x)=x^n

(x^n)^\prime = nx^{n-1}

3.  2. はnの部分が0でない実数のときも成り立ちます.

例えば,  \sqrt{x}=x^\frac{1}{2} の導関数は \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

4. 指数関数(a>0, a\neq 1) f(x)=a^x

(a^x)^\prime = a^x\log_{e}{a}

特に, a=eのとき

(e^x)^\prime = e^x

ここで, eはネイピア数(自然対数の底)です.

5. 対数関数(a>0) f(x)=\log_{a}{x}

(\log_{a}{x})^\prime = \dfrac{1}{x\log_{e}{a}}

特に, a=eのとき,

(\log_{e}{x})^\prime = \dfrac{1}{x}

6. 三角関数 f(x)=\sin{x}, \cos{x}, \tan{x}

(\sin{x})^\prime = \cos{x}

(\cos{x})^\prime = -\sin{x}

(\tan{x})^\prime = \dfrac{1}{\cos^2{x}} = 1+\tan^2{x}

\left(\dfrac{1}{\tan{x}}\right)^\prime = -\dfrac{1}{\sin^2{x}} = -\left(1+\dfrac{1}{\tan^2{x}}\right)

2. は導関数の定義から, 高校数学で簡単に求まりますが, nを実数に拡張した 3. は高校数学では証明できません (高校数学では実数の厳密な定義がされないため).

厳密な定義を用いれば, nが整数から有理数, 実数の順にこの公式を証明できます.

実際に複雑な関数の微分をする場合は, これらの基本的な導関数に加えて, 「関数の積の導関数」や「合成関数の導関数」, 「逆関数の導関数」などいろいろな公式を利用することになります.

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