微分の公式

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微分の公式

大学入試などで関数を微分する(導関数を求める)問題では, 分数型や合成関数型など複雑な関数が出てくるので, 「初等関数の導関数」に加えて, 微分の公式を覚えておく必要があります.

覚えておいた方がいい主な公式は以下の4つです. 特に1~4は頻繁に使う重要な公式です.

  1. 積の微分                h(x)=f(x)g(x)
  2. 逆数の微分             h(x)=1/f(x)
  3. 商(分数型)の微分     h(x)=g(x)/f(x)
  4. 合成関数の微分        h(x)=g\circ f(x)=g(f(x))
  5. 逆関数の微分           h(x)=f^{-1}(x)

1. 積の微分

微分可能な関数f(x)g(x) の積で表される関数

\begin{equation*} h(x) = f(x)g(x) \end{equation*}

の導関数は,

\begin{equation*} h^\prime(x) =\{f(x)g(x)\}^\prime = f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x) \end{equation*}

これは導関数の定義から簡単に求まります.

2. 逆数の微分

f(x)\neq 0のとき, 逆数 h(x)=\dfrac{1}{f(x)}の導関数は

\begin{equation*} h^\prime(x) = \left(\dfrac{1}{f(x)}\right)^\prime = -\dfrac{f^\prime(x)}{\{f(x)\}^2} \end{equation*}

これも導関数の定義から求まります.

3. 商(分数型)の微分

f(x)\neq 0のとき, 別の関数g(x)との商の形で表されるh(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}の導関数は,

\begin{equation*} h^\prime(x) = \left(\frac{g(x)}{f(x)}\right)^\prime = \frac{f(x)g^\prime(x)-f^\prime(x)g(x)}{\{f(x)\}^2} \end{equation*}

h(x) = \dfrac{1}{f(x)}\cdot g(x) と見なすことで, 1. 2. の公式から求めることができます.

また, この公式でg(x)=1とすると, g^\prime(x)=0なので2. の公式になります.

4. 合成関数の微分

f(x)g(x) の合成関数 h(x) = g\circ f(x) = g(f(x))の導関数は,

\begin{equation*} h^\prime(x) = \{g(f(x))\}^\prime = g^\prime(f(x))\cdot f^\prime(x) \end{equation*}

y=f(x), z=h(x)=g(f(x))=g(y)とおくと,

\begin{equation*} \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} \end{equation*}

と書くことができます. 分数の掛け算のような形になっていて覚えやすいですね.

5. 逆関数の微分

y=f(x)の逆関数を h(x) = f^{-1}(x)とすると, x=h(y)となり,

\begin{equation*} h^\prime(y) = \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}=\dfrac{1}{f^\prime(x)} \end{equation*}

が成り立ちます.

例えば, y=f(x)=x^2 \,(x>0)の逆関数 x=\sqrt{y}y で微分すると,

\begin{eqnarray*} \dfrac{dx}{dy} &=& \dfrac{1}{f^\prime(x)}\\ &=& \dfrac{1}{2x}\\ &=& \dfrac{1}{2\sqrt{y}} \end{eqnarray*}

となります.

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