自然対数の底 e が無理数である証明

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自然対数の底 e が無理数である証明

以前の記事で, 円周率\piが無理数, つまり (整数) / (整数) と分数の形では表せない証明として, Nivenの方法を紹介しました.

今回は, 自然対数の底 e が無理数である証明を紹介します.

自然対数の底とは, 次の式で定義される数です.

\begin{eqnarray*} e &=& \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\\ &=& 2.718281828\ldots \end{eqnarray*}

証明.

証明の手順

  1. 自然数 n に対して,

(1) \begin{eqnarray*} f_n(x) &=& x^ne^{1-x}\\ a_n &=& \int_0^1 f_n(x)\,dx \end{eqnarray*}

とおく.

2. 0<a_n<1 を示す.

3.

(2) \begin{equation*} \dfrac{a_n}{n!} = e-\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{k!} \end{equation*}

を示す.

4. 2. 3. を用いて, 背理法で e が無理数であることを示す.

では, 詳しい証明を見ていきます.

証明.

手順の1. のように f_n(x), a_n を定めた上で, 2. 以降を示していきます.

2.

f_n(x) = x^ne^{1-x}x で微分すると,

\begin{eqnarray*} f_n^\prime(x) &=& nx^{n-1}e^{1-x}-x^ne^{1-x}\\ &=& (n-x)x^{n-1}e^{1-x} \end{eqnarray*}

となります.

n は自然数なので, n\geqq 1で, 0\leqq x\leqq 1 のとき, n-x\geqq0 よりf_n^\prime(x)\geqq 0 です.

よって, f_n(x)0\leqq x\leqq 1 において単調増加関数で,

f_n(0) = 0, f_n(1) = 1^ne^0 = 1

なので, 0\leqq f_n(x) \leqq 1.

ここで, この不等式において等号は 0\leqq x\leqq 1 のとき常には成り立たないので,

\begin{equation*} 0\leqq \int_0^1 f_n(x)\,dx \leqq \int_0^1 1\,dx = 1 \end{equation*}

3.

まず a_1 を計算すると,

\begin{eqnarray*} a_1 &=& \int_0^1 xe^{1-x}\,dx \\ &=& \Big[-xe^{1-x}\Big]_0^1+\int_0^1 e^{1-x}\,dx\\ &=& -1 + \Big[-e^{1-x}\Big]_0^1\\ &=& -1-(1-e)\\ &=& e-2 \end{eqnarray*}

次に, a_{n+1}a_n で表します.

\begin{eqnarray*} a_{n+1} &=& \int_0^1 x^{n+1}e^{1-x}\,dx\\ &=& \Big[-x^{n+1}e^{1-x}\Big]_0^1 + (n+1)\int_0^1 x^ne^{1-x}\,dx\\ &=& -1 + (n+1)a_n \end{eqnarray*}

この式を用いて (2) 式を帰納法で示します.

[1] n=1のとき

\begin{equation*} \dfrac{a_1}{1!} = e-2 \end{equation*}

\begin{eqnarray*} e-\sum_{k=1}^1 \dfrac{1}{k!} &=& e-(1+1)\\ &=& e-2 \end{eqnarray*}

よりn=1のときは成立.

[2] n=m のとき成り立つと仮定すると,

\begin{equation*} \dfrac{a_m}{m!} = e-\sum_{k=0}^m \dfrac{1}{k!} \end{equation*}

n=m+1のとき

\begin{eqnarray*} \dfrac{a_{m+1}}{(m+1)!} &=& \dfrac{-1+(m+1)a_m}{(m+1)!}\\ &=& -\dfrac{1}{(m+1)!}+\dfrac{a_m}{m!}\\ &=& -\dfrac{1}{(m+1)!}+\left(e-\sum_{k=0}^m\dfrac{1}{k!}\right) &=& e-\sum_{k=0}^{m+1} \dfrac{1}{k!} \end{eqnarray*}

よって, n=m+1 のときも成立.

[1], [2] より, すべての n について (2) 式が成り立つ.

4. (2)式の両辺に n! をかけると

\begin{equation*} a_n = n!e-n!\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \end{equation*}

移項して,

(3) \begin{equation*} n!e = a_n+n!\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \end{equation*}

ここで, e を有理数と仮定すると, e=\dfrac{p}{q}, (p, qは自然数) と書くことができます. この両辺にq! = q\cdot (q-1)! を掛けると,

\begin{equation*} q!e = (q-1)!p \end{equation*}

一方で, (3)式は n=q のときも成り立ち,

\begin{equation*} q!e = a_q + q!\sum_{k=0}^q \dfrac{1}{k!} \end{equation*}

なので,

\begin{equation*} (q-1)!p = a_q + \sum_{k=0}^q \dfrac{q!}{k!} \end{equation*}

という式が成り立ちます.

ところで, 左辺の (q-1)!p は整数です(p, qは整数なので).

右辺をみると,  q!/k! = q\cdot(q-1)\cdots(k+1)k=0, 1, \ldots, q に対しては整数ですが,  a_q0<a_q<1 より整数ではないので, 右辺は整数ではないことになります.

等式の左辺は整数で, 右辺は整数でない, というのは矛盾なので, e が有理数という仮定が誤りで, e は無理数ということになります.

長くなりましたが, これで証明終了です.

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