中線定理

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中線定理

定理.

\triangle ABC において,

BC の中点を M とするとき,

\begin{equation*} AB^2+AC^2 = 2(AM^2+BM^2) \end{equation*}

定理の名前になっている中線とは, 三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分(上の図ではAM)のことです.

この定理を使うと, 中線の長さを求められます.

例.

AB=15, BC=14, CA=13 のとき, AMの長さを求める.

中線定理より

\begin{eqnarray*} 15^2 + 13^2 &=& 2(7^2+AM^2)\\ 225+169&=&2(49+AM^2)\\ AM^2 &=& 148\\ \therefore AM &=& 2\sqrt{37} \end{eqnarray*}

中線定理の証明.

中線定理は, 三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いて, 以下のように簡単に証明できます.

まず A から辺 BC に下ろした垂線の足を H とします. ここでは, B, M, H, C の順に並んでいる場合を考えます.

3つの直角三角形 \triangle{ABH}, \triangle{ACH}, \triangle{AMH} について三平方の定理より,

(1) \begin{equation*} AB^2 = AH^2 + BH^2 \end{equation*}

(2) \begin{equation*} AC^2 = AH^2 + CH^2 \end{equation*}

(3) \begin{equation*} AM^2 = AH^2 + MH^2 \end{equation*}

また, BH = BM + MH, CH = CM - HM = BM - MH であることも使って,

\begin{eqnarray*} AB^2+AC^2 &=& (AH^2+BH^2) + (AH^2+CH^2)\\ &=& 2AH^2+BH^2+CH^2\\ &=& 2AH^2+(BM+MH)^2+(BM-MH)^2\\ &=& 2AH^2+2BM^2+2MH^2\\ &=& 2\{BM^2+(AH^2+MH^2)\}\\ &=& 2(BM^2+AM^2) \end{eqnarray*}

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