フラーレンの面の数

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フラーレンの面の数

フラーレンとサッカーボール

炭素原子だけで構成されるものとして, 鉛筆に使われる黒鉛, 宝石として有名なダイヤモンド, そして, 1985年に発見されたフラーレンがあります.

フラーレンは, 右図のように, 5角形と6角形の面からなる立体の形をしています. 右図は炭素原子60個からなるフラーレンC_{60}で, サッカーボールと同じ形をしていて, 5角形の面12個, 6角形の面20個からなります.

最初に発見されたフラーレンはこのC_{60}なのですが, 後に同じく5角形と6角形のみからなる別の, もっと面の数が多いフラーレンC_{70}などが発見されてきました.

ところが, すべてのフラーレンに共通する面白い性質があったのです. それは,

5角形の面の数は12個

というものです. 面のかずをいくら増やそうとしても, 6角形の面だけが増えて, 5角形の面は常に12個なのです.

実はこの性質を簡単に示すことができるので, 以下で紹介します.

5角形と6角形の面のみからなる多面体の性質

オイラー(Euler) の多面体定理

まず, オイラーの多面体定理を紹介します.

定理. 

(穴の開いていない)多面体について, 

(頂点の数) + (面の数) – (辺の数) = 2

例えば, 立方体では頂点は8個, 面は6個, 辺は12個なので, 8+6-12=2 と成り立ちます.

また, フラーレンC_{60} の形では, 頂点は60個, 面は32個, 辺は90個なので, 60+32-90=2 と成り立ちます.

この定理を使って, 5角形の面が12個になることを示します.

証明.

多面体が5角形の面m個, 6角形の面n個からなるとして, 頂点, 面, 辺の数を数えます.

その前に,

  1. 1つの辺は2つの面に共有される.
  2. 1つの頂点には3つの面の角が集まる.

ことを確認しておきます.

1. は明らかです.

2. は, 立体になるためには1つの頂点に3つ以上の面の角が必要で, 5角形の内角は108^\circ, 6角形の内角は120^\circ なので4つ以上の面の角が集まることはできないからです(角の和が360^\circをこえることはできないので).

まず, 頂点の数を面を基準に数えると, のべ5m+6n 個ですが, 上の2. により3個ずつ重複して数えているので,

(頂点の数)=\dfrac{5m+6n}{3}.

次に, 面の数は5角形, 6角形の面を合わせて,

(面の数)=m+n.

最後に, 辺の数は, 面を基準に数えると, のべ5m+6n個ですが, 上の1. より2個ずつ重複して数えているので,

(辺の数)=\dfrac{5m+6n}{2}.

これをオイラーの多面体定理に当てはめると,

\begin{equation*} \dfrac{5m+6n}{3} + (m+n) - \dfrac{5m+6n}{2} = 2 \end{equation*}

左辺を整理すると, n が消えて,

\begin{eqnarray*} \dfrac{m}{6} &=& 2\\ \therefore m &=& 12 \end{eqnarray*}

よって, 5角形の面の数は 12個になります.

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